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2025年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（一）加试
一、求所有的非负整数k,m,使得
1k+2+3+4k+5k+6k+7k+8k+9=3m.
二、给定正整数n.设非负实数a1,a2,…,an满足对任意下标i,j,若i+j≤
n,则ai+aj≤ai+j求
a1a2···an
(a1+a2+·+an)m
的最大可能值。
三、如图，在锐角△ABC中，I是内心，I”是I关于BC的对称点，2是
外接圆.过A分别作BI,CI的垂线，交圆2的优弧ACB,ABC于另外的两
点P,Q.点S在圆2的优弧BAC上，且SI交2于另一点T.点U,V分别在
直线PT和QT上，满足U,V,I'在直线BC的同一侧，且∠CBU=∠BCV=
∠IAC.己知线段UV,CI'交于点W,求证：∠IBS+∠CWV=90°.
B
四、考虑一个10×10×10的大正方体，将它划分为103个1×1×1的单位小
正方体.将每个小正方体染上一种颜色，使得大正方体的任一1×1×10,1×10×
1,10×1×1子长方体所含不同颜色的个数均不超过4.求染色所用不同颜色个数的
最大可能值.
2025年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）
一、
称实数a为好数，是指存在各项均为整数的数列{an}neN+,满足：对任意
正整数n,均有an+1=[aan小，且an是偶数当且仅当n是偶数.
(1)求证：若a是好数，则a>1且a不是整数：
(2)求证：存在无穷多个互不相同的好数.
二、设V是空间中若干个点所成集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有
线段，记E为这些线段构成的集合.己知无论怎样将E所含每条线段染为红蓝两
种颜色之一，都能找到V中的三个点构成三边均为红色或三边均为蓝色的三角形
求E所含线段个数m的最小可能值.
三、如图，圆O1与圆O2外切于点T.过圆O2上的一点X作切线，交
圆O1于A,B两点，延长XT交圆O1于点S.在圆O1的劣弧TS上取一点C,
延长SC交∠BAC的平分线于点I.过A,T,X三点的圆与过C,T,I三点的圆交
于另一点E.求证：EO2⊥XI.
0
1
四、记Sg(a)为正整数a在q进制下的各位数码之和，其中q是不小于2的
整数.求最大的正整数k,使得对正整数的任意无穷子集S,均存在整数1<
q1<2<·1,2,·,100,均有Sg,(a1）=S4,(a2)=…=S4:(ak).
五、给定正整数.求最小的实数S,使得无论怎样将坐标平面xOy中的每个
整点染为种不同颜色之一，都一定存在三个不共线且颜色相同的整点A,B,C,
满足△ABC的面积不超过S.
六、己知映射∫：{1,2…，301}→{1,2，·，301}满足：对任意不超过301的
正整数x,均有
f(f(x)+f(x)≥301+x.
求S=f(1)+f(2)+·+f(301)的最小可能值.
2

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