资源简介

(共58张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
考 情 探 究
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2024新高考Ⅰ，1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算
2024新高考Ⅱ，2 全称(存在)量词命题的否定 命题的否定及真假判断 运算判断 基础性 数学运算
2023新课标Ⅱ，2 集合及其关系 由集合的关系求参数的值 运算求解 基础性 数学运算
2023新课标Ⅰ，1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，7 充分条件与必要条件 充分、必要条件的判定 运算求解 综合性 逻辑推理
数学运算
2022新高考Ⅰ，1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算
2022新高考Ⅱ，1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算
2021新高考Ⅱ，2 集合的基本运算 交集、补集运算 运算求解 基础性 数学运算
2022新高考Ⅱ，12 基本不等式 利用基本不等式求最值 运算求解 综合性 数学运算
2020新高考Ⅰ，11 基本不等式 比较大小 运算求解 综合性 数学运算
【命题规律与备考策略】
本章内容分为两部分．第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式．第一部分内容是高考必考内容，难度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主．第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题．此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握．
第一讲　集合
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　元素与集合
1．集合中元素的三个特征：____________、____________、____________.
2．元素与集合的关系：(1)属于，记为______；(2)不属于，记为 .
3．集合的表示方法：____________、____________、Venn图法．
确定性
互异性
无序性
∈
列举法
描述法
4．常见数集的记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ______ ____________________ ______ ______ ______
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点二　集合之间的基本关系
关系 定义 表示
相等 集合A与集合B中的所有元素都_________ A______B
子集 A中的任意一个元素都是__________________ A______B
真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素_______________ A______B
相同
＝
B中的元素

不属于A
注意：(1)空集用_______表示．
(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为_________，真子集的个数为_________，非空真子集的个数为_________.
(3)空集是任何集合的子集，是任何_______________的真子集．
(4)若A B，B C，则A_______C.

2n
2n－1
2n－2
非空集合

知识点三　集合的基本运算
符号语言 交集A∩B 并集A∪B 补集 UA
图形语言
意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} UA＝{x|x∈U且x A}
归 纳 拓 展
1．A∩A＝A，A∩ ＝ .
2．A∪A＝A，A∪ ＝A.
3．A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
4．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB A∩( UB)＝ .
5． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1){0,2,1}和{0,1,2}是同一个集合．(　　)
(2)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　)
(3)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．(　　)
(4){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则 UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
[解析]　(6)中A＝{x|0题组二　走进教材
2．(多选题)(必修1习题T1改编)已知集合P＝{x∈N|x2＝4}，则(　　)
A．2∈P B．P＝{－2,2}
[答案]　AD
3．(必修1复习参考题1T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∩B＝B，则实数a＝___________.
[答案]　2
[解析]　因为A∩B＝B，所以B A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＋2＝a2时，即a＝2或a＝－1，当a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意，故a＝2.
4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝____________.
[答案]　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
题组三　走向高考
5．(2023·全国甲卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪ UM＝(　　)
A．{2,3,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}
[答案]　A
[解析]　因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以 UM＝{2,3,5}，所以N∪ UM＝{2,3,5}．故选A.
6．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1,0} B．{2,3}
C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}
[答案]　A
7．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3[答案]　C
[解析]　直接根据并集含义即可得到答案．由题意得M∪N＝{x|－3考点突破 · 互动探究
集合的基本概念——自主练透
1．(2025·莆田模拟)设集合A＝{x|x≥－1}，则下列四个关系中正确的是(　　)
A．1∈A　　 B．1 A
C．{1}∈A D．1 A
[答案]　A
[解析]　由题意知，集合A＝{x|x≥－1}表示所有不小于－1的实数组成的集合，所以1是集合中的元素，故1∈A.
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案]　C
3．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N，且x＋1∈A}，则B等于(　　)
A．{0,1} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2,3,4}
[答案]　A
[解析]　因为A＝{x|x2≤4}＝[－2,2]，B＝{x|x∈N，且x＋1∈A}，所以B＝{0,1}．
4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2 026a的值为________；若1 A，则a不可能取得的值为________.
[解析]　若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不符合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，符合题意，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不符合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不符合题意；因此a＝0，所以2 0260＝1.
名师点拨：
1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
集合之间的基本关系——师生共研
[答案]　B
[解析]　解法一(列举法)：
2k－1能取遍所有奇数；
k＋2能取遍所有整数，
2．已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　　)
[答案]　A
[解析]　∵B A，
∴①若B＝ ，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②若B≠ ，即ax＋1≤0有解，
名师点拨：判断集合间关系的3种方法
列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
描述法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．
数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.
【变式训练】
1．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
[答案]　B
[解析]　依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若B A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．[0,2]
[答案]　A
[解析]　当B≠ 时，要满足B A，只需
集合的基本运算——多维探究
角度1　集合的运算
A．{1,4,9} 　 B．{3,4,9}
C．{1,2,3} D．{2,3,5}
[答案]　D
2．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
[答案]　A
[解析]　由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确； UM＝{x|x≥1}，则N∪ UM＝{x|x>－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1角度2　利用集合的运算求参数
1．(多选题)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　)
[答案]　BCD
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠ ，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为________.
[答案]　[2,3]
[解析]　由A∩B＝B知，B A.
则实数m的取值范围为[2,3]．
[引申1]本例2中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？
[解析]　应对B＝ 和B≠ 进行分类．
①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，由题得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
[引申2]本例2中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[引申3]本例2中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，A?B，则m的取值范围为________.
[答案]　(－∞，－3]
名师点拨：集合的基本运算的关注点
1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·全国甲卷文)若集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3,4} B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4,9}
[答案]　C
[解析]　依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1,2,3,4,5,9，则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B＝{0,1,2,3,4,8}，于是A∩B＝{1,2,3,4}．故选C.
2．(角度1)(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1A．( RA)∪B＝{x|0≤x<3}
B．( RA)∩B＝{x|1C．A∩B＝{x|2D．A∩B是{x|2[答案]　ACD
[解析]　由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以 RA＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|12}，B＝{x|13．(角度2)(2025·南昌模拟)已知集合A＝{x|2aA．(－3,1) B．[－3,1)
C．(－1,0) D．(－1,1)
[答案]　A
[解析]　由题得2a－2，解得a>－3，所以－34．(角度2)(2024·北京模拟)已知集合A＝{x|x(x－1)≤0}，B＝{x|ln x≤a}，为使得A∪B＝A，则实数a可以是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．e
[答案]　A
[解析]　由题得A＝[0,1]，B＝(0，ea]，因为A∪B＝A，所以B A.所以ea≤1＝e0，所以a≤0.
名师讲坛 · 素养提升
集合中的新定义问题
(2025·长沙模拟)给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是(　　)
A．集合M＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合
D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
[答案]　C
[解析]　当集合M＝{－4，－2,0,2,4}时，2,4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a名师点拨：集合新定义问题的“3定\”
1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
【变式训练】
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案]　ABD(共59张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第二讲　常用逻辑用语
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　充分条件、必要条件与充要条件的概念
命题 真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出 关系 p_____q p______q p_______q
条件 关系 p是q的______条件，q是p的______条件 p不是q的______条件，q不是p的______条件 p是q的__________条件，简称______条件


充分
必要
充分
必要
充分必要
充要
知识点二　全称量词与存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题
命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点三　全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 ______________________ ______________________
x∈M，非p(x)
x∈M，非p(x)
归 纳 拓 展
1．从集合的角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
2．p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．
3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
4．命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　)
(3)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．(　　)
(4)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
(4)在△ABC中，由A>B，则a>b，由正弦定理sin A>sin B，反之也成立．
题组二　走进教材
2．(必修1习题1.5 T3改编)已知命题p： x∈R，x>sin x，则p的否定为(　　)
A． x∈R，xC． x∈R，x≤sin x D． x∈R，x[答案]　C
[解析]　对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p： x∈R，x>sin x，则p的否定为： x∈R，x≤sin x．故选C.
3．(必修1习题1.4 T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，
所以ac2>bc2 a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
4．(必修1复习参考题1 T5改编)使－2A．x<2 B．0C．－2≤x≤2 D．x>0
[答案]　B
题组三　走向高考
5．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题 B．非p和q都是真命题
C．p和非q都是真命题 D．非p和非q都是真命题
[答案]　B
[解析]　对于两个命题而言，可分别取x＝－1、x＝1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解．对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，非q是假命题，综上，非p和q都是真命题．故选B.
6．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件．根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b，所以二者互为充要条件，故选C.
考点突破 · 互动探究
全称量词命题与存在量词命题——自主练透
[答案]　C
2．(多选题)下列命题的否定中，是真命题的有(　　)
A．某些平行四边形是菱形
B． x∈R，x2－3x＋3<0
C． x∈R，|x|＋x2≥0
D． x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
[答案]　BD
[解析]　根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，Δ＝9－12＝ －3<0，则原命题是假命题；对于C， x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．故选BD.
3．已知命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
[答案]　C
名师点拨：
1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量 词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量 词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.
充分条件与必要条件的判断——多维探究
方法1：定义法判断
(2024·全国甲卷理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
[答案]　C
方法2：集合法判断
设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　不等式x2－5x<0的解集A＝{x|0方法3　等价转化法判断
[答案]　C
[解析]　解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C?D，所以B?A，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
解法二(等价转化法)：x＝y cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，故“x＝y”是“cos x＝cos y”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法
2．利用集合判断
3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断非q是非p的什么条件．
【变式训练】
1．给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是非q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
2．(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是 “a＝－b或a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　根据向量数量积分析可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，结合充分、必要条件分析判断．因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1,0)，b＝(0,1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立；综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b且a＝－b”的必要不充分条件．故选B.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
充分、必要条件的应用——师生共研
(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________.
(2)在(1)的条件下，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“綈P是綈S的必要不充分条件，”则m的取值范围是________.
[答案]　(1)[0,3]　(2)[9，＋∞)
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
名师点拨：
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【变式训练】
(2024·衡水调研)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________.
名师讲坛 · 素养提升
一、抽象命题间充要条件的判定
已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④非p是非s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是( 　 )
A．①④⑤ B．①②④
C．②③⑤ D．②④⑤
[答案]　B
名师点拨：
命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．
【变式训练】
若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的___________ _____________条件．
[答案]　必要不充分
二、突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．
[答案]　A
[解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
[解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
[解析]　当x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝ln 10，
[解析]　当x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝ln 10，
由f(x)max≥g(x)max，
名师点拨：
对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
【变式训练】
已知函数f(x)＝ex－e，g(x)＝ln x＋1，若对于 x1∈R， x2∈(0， ＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最大值为(　　)
A．e B．1－e
[答案]　D(共37张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第三讲　等式性质与不等式性质
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　两个实数比较大小的方法
>
＝
<
知识点二　等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么____________；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么____________；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
b＝a
a＝c
知识点三　不等式的基本性质
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
an>bn
归 纳 拓 展
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a＝b ac＝bc.(　　)
(3)若a>b，则ac2>bc2.(　　)
(4)若ac2(5)若a>b则a2>b2.(　　)
(6)若a>b则a3>b3.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)√
题组二　走进教材
2．(必修1习题2.1 T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M[答案]　A
[解析]　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A.
[答案]　(－π，0)
题组三　走向高考
4．(2022·上海卷)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项中正确的是(　　)
A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d
C．ad>bc D．ac>bd
[答案]　B
[解析]　如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋db＋c>b＋d，故B正确；如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad5．(2016·北京卷)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
[答案]　C
考点突破 · 互动探究
比较代数式的大小——自主练透
1．(多选题)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
[答案]　AD
[解析]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
A．aC．c[答案]　B
[解析]　解法一：易知a，b，c都是正数，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数．
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
名师点拨：比较两实数大小的方法
1．作差(商)法：作差(商) 变形 判断．
2．构造函数法：利用函数的单调性比较大小．
3．中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量.
不等式的性质及应用——多维探究
角度1　不等式的性质
1．(多选题)(2024·张家口模拟)若a>b，则下列不等式中正确的有(　　)
A．a－b>0　　　　　　 B．2a>2b
C．ac>bc D．a2>b2
[答案]　AB
[解析]　因为a>b，所以a－b>0，故A正确；因为a>b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a>2b，故B正确；若c<0，则ac2．(多选题)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．xy>yz B．xy>xz
C．xz>yz D．x|y|>|y|z
[答案]　ACD
[解析]　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以x>0，z<0，y的符号无法确定．
由题意得x>z，若y<0，则xy<0因为y>z，x>0，所以xy>xz，故B成立；
因为x>y，z<0，所以xz当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不成立．
角度2　利用不等式的性质求范围问题
(多选题)已知1≤x≤2,3≤y≤5，则(　　)
A．x＋y∈[4,7]　　 B．y－x∈[2,3]
[答案]　AC
[解析]　因为1≤x≤2,3≤y≤5，
所以4≤x＋y≤7，－2≤－x≤－1,1≤y－x≤4，
所以x＋y的取值范围为[4,7]，y－x的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误；
因为1≤x≤2,3≤y≤5，
[解析]　设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
∵－1名师点拨：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
【变式训练】
[答案]　AC
[答案]　(－60,30)　(4,240)
名师讲坛 · 素养提升
“糖水不等式”的应用
a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a>b>0，m>0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜．根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明．
【变式训练】
1．依据糖水不等式可得出log32________log1510(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式______________________.
2．已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b[答案]　A(共60张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第四讲　基本不等式
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
1．基本不等式成立的条件：______________；
2．等号成立的条件：当且仅当_______时等号成立；
a>0，b>0
a＝b
算术平均数
几何平均数
知识点二　利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
x＝y
归 纳 拓 展
常用的几个重要不等式
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
题组二　走进教材
2．(必修1习题2.2 T1(2)改编)已知0[答案]　A
[解析]　因为00，
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
[答案]　D
C．3 D．4
[答案]　C
题组三　走向高考
5．(2024·北京卷，9,4分)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x图象上不同的两点，则下列正确的是(　　)
[答案]　A
解法二(特值法)：令x1＝1，
则y1＝2，令x2＝3，则y2＝8.
6．(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷，11,5分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
[答案]　ABD
考点突破 · 互动探究
利用基本不等式求最值——多维探究
角度1　直接法
下列函数中最小值为4的是(　　)
[答案]　C
[解析]　y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，A不符合题意．
名师点拨：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”．
1．“一正”就是各项必须为正数．
2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．
3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值．
角度2　配凑法
[答案]　A
[答案]　9
[解析]　因为x>－1，则x＋1>0，
所以函数的最小值为9.
当且仅当4x2＝1－4x2，
名师点拨：配凑法求最值的技巧
1．用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．
2．求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如本例中的3题的关键是变形，凑出和为常数．
角度3　常数代换法求最值
A．54 B．56
C．72 D．81
[答案]　C
[引申]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________.
[答案]　72
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
名师点拨：常数代换法的技巧
1．常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．
2．利用常数代换法求解最值应注意：(1)条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；(2)利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．
角度4　消元法
已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
[答案]　6
[解析]　解法一：(换元消元法)
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
解法二：(代入消元法)
＝12－6＝6，
所以x＋3y的最小值为6.
[引申]本例条件不变，求xy的最大值．
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴xy的最大值为3.
∴xy的最大值为3.
名师点拨：
要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
【变式训练】
1．(角度1)(2025·沧州七校联考)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)
A．40 B．10
C．4 D．2
[答案]　D
[解析]　∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，
∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2.
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
[答案]　C
[答案]　D
4．(角度4)(2025·聊城一中月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．12
[答案]　B
利用基本不等式解决实际问题——师生共研
A．135 B．149
C．165 D．195
[答案]　B
名师点拨：利用基本不等式解决实际问题的策略
1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
【变式训练】
[答案]　D
名师讲坛 · 素养提升
柯西不等式
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．柯西不等式的代数形式
设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
2．柯西不等式的向量形式
设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．柯西不等式的三角不等式
利用柯西不等式求最值
1．(2024·浙江模拟)若sin x＋cos y＋sin(x＋y)＝2，则sin x的最小值是(　　)
[答案]　C
[解析]　由已知sin x＋cos y＋sin xcos y＋cos xsin y＝2整理得2－sin x＝(sin x＋1)cos y＋cos xsin y，
当且仅当(sin x＋1)sin y＝cos ycos x时取等号，
[答案]　A
名师点拨：柯西不等式求解最值的策略
关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来确定对应的最值问题．
【变式训练】
[答案]　2(共70张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第五讲　一元二次不等式及其解法
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　一元二次不等式
只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a，b，c均为常数，a≠0)．
一
2
知识点二　三个二次之间的关系
两相异
两相等
没有
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 _________________ ________________ ______
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 _________________ _____ ______
{x|x>x2或 x{x|x∈R 且x≠x1}
R
{x| x1

归 纳 拓 展
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
3．一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从右至左，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正．
如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿．
4．简单分式不等式的解法
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集为(－1,2)．(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)
(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
题组二　走进教材
2．(必修1习题2.3 T3改编)设集合A＝{x|1A．[－1,3] B．[－1,4)
C．(1,3] D．(1,4)
[答案]　B
[解析]　由x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，∴B＝{x|－1≤x≤3}，∴A∪B＝[－1,4)．故选B.
[答案]　－14
4．(必修1复习参考题2 T6)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.
[答案]　[0,4)
题组三　走向高考
5．(2024·上海卷，3,4分)设x∈R，则不等式x2－2x－3<0的解集为________.
[答案]　(－1,3)
[解析]　对于方程x2－2x－3＝0，可解得其根为x1＝－1，x2＝3.
∵x2－2x－3<0，∴可作图如右：
由图象可知原不等式的解集为(－1,3)．
[答案]　A
考点突破 · 互动探究
一元二次不等式的解法——多维探究
角度1　不含参数的不等式
求下列不等式的解集．
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)9x2－6x＋1>0；
(4)x2<6x－10.
[解析]　(1)∵Δ＝49>0，
∴方程2x2＋5x－3＝0有两个不等的实数根，
画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.
∵Δ＝12>0，
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为 .
名师点拨：解一元二次不等式的一般方法和步骤
角度2　含参数的不等式
解下列关于x的不等式：
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；
(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)．
(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系．
[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？
当a＝1时，解集为 ；
[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．
[解析]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.
名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分类讨论
1．若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．
2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．
3．解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．
4．解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
【变式训练】
1．(角度1)(多选题)下列四个不等式中，解集为 的是(　　)
A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4<0
C．x2＋3x＋10≤0 D．x2－2x＋3<0
[答案]　BCD
[解析]　根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项．A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项错误；B选项，开口向上，Δ＝9－4×2×4＝－23<0，解集为空集，故B选项正确；C选项，开口向上，Δ＝9－4×10＝－31<0，解集为空集，故C选项正确；D选项，开口向上，Δ＝4－4×3＝－8<0，解集为空集，故D选项正确．故选BCD.
2．(角度2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
[解析]　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
三个二次间的关系——师生共研
(多选题)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}
D．a＋b＋c>0
[答案]　AC
[解析]　由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确；
因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
所以bx＋c>0，即－ax－20a>0，
解得x<－20，故B错误；
不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，
即20x2－x－1>0，
即(5x＋1)(4x－1)>0，
因为1 {x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误．
【变式训练】
A．{x|2[分析]　利用根与系数的关系求解．
[答案]　B
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B.
一元二次不等式恒(能)成立问题——多维探究
角度1　恒成立问题
[解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0；
所以m的取值范围为(－4,0]．
(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，
只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，
(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.
令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．
名师点拨：一元二次不等式恒成立问题
1．一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
2.在给定区间上恒成立问题的求解策略
策略一 若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围
策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a
3.转移变量
解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．(如本例中(3))
角度2　能成立或有解问题
若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2,7)上有实数解，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，8) 　 B．(－∞，8]
[答案]　A
[解析]　解法一：(分离参数法)不等式x2－ax＋7>0在(2,7)上有实数解，
所以f(x)max解法二：(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解，
它的否定是不等式x2－ax＋7>0在(2,7)上无解，
名师点拨：一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
1．分离参数法：把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a2．最值转化法：若f(x)>0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)<0在集合A中有解，则函数y＝f(x)在集合A中的最小值小于0.
3．数形结合法：根据图象列出约束条件求解．
4．最后一定要注意检验区间的开闭．
【变式训练】
1．(角度1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(　　)
A．(－∞，3) B．(－1,3)
C．[－1,3] D．(－1,3]
[答案]　D
[解析]　当a＝3时，－4<0恒成立；
解得－12．(角度1)(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(　　)
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m<0 D．m≥－4
[答案]　A
[解析]　令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A.
3．(角度2)(2024·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
[答案]　A
[解析]　解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解 f(4)>0，即a<－2，故选A.
解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)4．(角度1)(2025·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为(　　)
A．[－1,3] B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
[答案]　D
[解析]　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得
∴x<－1或x>3.
名师讲坛 · 素养提升
一元二次方程的根的分布情况
一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下：
根的分 布情况 x1图象的 大致 形状 a>0 a>0 a>0
a<0 a<0 a<0
根的分 布情况 m图象的 大致 形状 a>0 a>0 a>0
a<0 a<0 a<0
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；
(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；
(3)一根小于1，另一根大于2；
(4)一根大于－1，另一根小于－1；
(5)两根都在区间(－1,3)；
(6)两根都大于0；
(7)两根都小于1；
(8)在(1,2)内有解．
[解析]　设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0.
(4)一根大于－1，另一根小于－1，
应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，
(6)两根都大于0，应满足
【变式训练】
关于x的一元二次方程mx2＋(m＋1)x＋m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)两不等实根；
(2)两不等负根；
(3)一根大于0小于1，另一根大于1.
[解析]　(1)∵方程有两个不相等的实根，
(2)∵方程有两个不相等的负根，
故m的取值范围为(0,1)．

展开更多......

收起↑