资源简介

(共80张PPT)
第二章
函数
考 情 探 究
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2024新课标Ⅰ，8 函数性质综合应用 利用函数性质解题 运算求解 综合性 数学运算
2024新课标Ⅱ，8 函数的最值 利用单调性解不等式求最值 运算求解 综合性 数学运算
2024新课标Ⅱ，6 函数奇偶性 函数奇偶性的应用 运算求解 综合性 数学运算
2024新课标Ⅰ，6 函数单调性 利用单调性求参数范围 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，4 函数的单调性与最值 利用单调性求参数范围 运算求解 综合性 数学运算
2023新课标Ⅱ，4 函数的奇偶性与周期性 利用奇偶性求参数的值 运算求解 综合性 数学运算
2023新课标Ⅰ，11 函数的奇偶性与周期性 奇偶性的判定及其应用 运算求解 创新性 数学运算
逻辑推理
2023新课标Ⅰ，10 函数模型及应用 对数型函数的实际应用 逻辑思维 应用性 逻辑推理
数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考Ⅰ，12 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求函数值 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
2022新高考Ⅱ，8 函数奇偶性与周期性 利用周期性求值 运算求解 创新性 数学运算
逻辑推理
2021新高考Ⅰ，13 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求解参数的值 运算求解 基础性 数学运算
2021新高考Ⅱ，8 函数奇偶性与周期性 函数奇偶性的应用 运算求解 基础性 数学运算
2021新高考Ⅱ，7 幂函数、指数函数与对数函数 比较大小 运算求解 基础性 数学运算
【命题规律与备考策略】
本章内容一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命制，或将函数的性质融入函数的图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解．
针对本章的知识特点，备考时首先将学习重点放在以下几个方面：函数的基本性质、二次函数与幂函数、指数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用，其次对常见的结论或方法要加强记忆与理解，例如：①基本初等函数的解析式；②常见函数定义域的求法；③函数解析式的求法；④函数图象的变换；⑤周期函数的常用结论；⑥函数零点的常见求法等，最后，要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题，对于函数模型及综合应用则需掌握解题思路与常见的几类函数模型．
第一讲　函数的概念及其表示
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的____________，如果对于集合A中的________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ______的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
知识点二　同一个函数
1．前提条件：(1)定义域_________；(2)对应关系_________.
2．结论：这两个函数为同一个函数．
知识点三　函数的表示法
表示函数的常用方法有____________、图象法和列表法．
知识点四　分段函数
1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的_________.
相同
相同
解析法
并集
归 纳 拓 展
1．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.
[延伸]　
2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)
(3)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
题组二　走进教材
2．(必修1习题3.1 T2改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
[答案]　B
3．(必修1P72 T1改编)(多选题)下列所给图象是函数图象的是(　　)
[答案]　CD
[解析]　由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象．
4．(必修1习题3.1 T18改编)(多选题)记无理数π＝3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，下列说法正确的是(　　)
A．值域B是定义域A的子集
B．函数图象f(a)是一群孤立的点
C．f(6)＝2
D．a也是b的函数，记作a＝f(b)
[答案]　BC
[解析]　对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为0∈B,0 A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误；对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，则函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确；对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误．故选BC.
5．(必修1习题3.1 T11改编)(多选题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(　　)
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
[答案]　BD
[解析]　由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0， ＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD.
题组三　走向高考
[答案]　(－∞，0)∪(0,1]
[答案]　2
考点突破 · 互动探究
求函数的定义域——多维探究
角度1　求具体函数的定义域
A．[－2,2] B．(－1,2]
C．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,1)∪(1,2]
[答案]　C
角度2　求抽象函数的定义域
1．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
[答案]　B
A．[0,2] B．[－1,2]
[答案]　B
[答案]　D
名师点拨：函数定义域的求解策略
1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
3．抽象函数
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式训练】
[答案]　[－1,1)∪(1,2 024]
[解析]　使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 025，解得－1≤x≤ 2 024，故函数f(x＋1)的定义域为[－1,2 024]．
解得－1≤x<1或1故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 024]．
[答案]　[－2,1)∪(1,2 023]
[解析]　由函数f(x－1)的定义域为[0,2 025]，
得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 024]，
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 023].
求函数的解析式——师生共研
已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式．
(1)f(1－sin x)＝cos2x；
(3)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8；
[解析]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．
则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2)．
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
名师点拨：求函数解析式的四种方法
【变式训练】
A．－1　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
[答案]　A
所以f(2)＝2－3＝－1.
2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
[答案]　2x＋7
[解析]　因为f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋5a＋b＝2x＋17，
所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
3．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________.
[解析]　由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，
分段函数及应用——多维探究
角度1　分段函数求值问题
A．9 B．－9
[答案]　C
A．3 B．4
[答案]　C
角度2　分段函数与方程
[答案]　A
角度3　分段函数与不等式
[答案]　(1，＋∞)
名师点拨：分段函数问题的求解策略
1．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
2．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
【变式训练】
[答案]　D
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　A
[解析]　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，
∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有a＝－3.
A．(－1,0) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,1)
[答案]　B
[解析]　当x≤－1时，x＋1≤0,2x≤－2，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，则f(2x)>f(x＋1)不成立；
当－10,2x≤0，f(x＋1)＝3x＋1，f(2x)＝1，
由f(2x)>f(x＋1)，得3x＋1<1＝30，则x<－1，与－1当x>0时，x＋1>1,2x>0，f(x＋1)＝3x＋1，
f(2x)＝32x，
由f(2x)>f(x＋1)，得32x>3x＋1，则2x>x＋1，得x>1.
综上，满足f(2x)>f(x＋1)的x的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
快解：画出f(x)的大致图象，如图所示．
若f(2x)>f(x＋1)，则2x>0>x＋1或2x>x＋1>0，解得x>1.故选B.
名师讲坛 · 素养提升
函数值域的求法
求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．
求下列函数的值域．
(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[解析]　(1)解法一：分离常数法
即函数值域为(－1,1]．
解法二：反解法
(2)解法一：配方法
解法二：复合函数法
解法一：基本不等式法
∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3， ＋∞)．
解法二：判别式法
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
解法三：导数法(单调性法)
得－1∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；
函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.
∴y≤－1或y≥3.
即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)解法一：换元法
解法二：单调性法
(5)三角换元法
(6)解法一：绝对值不等式法
由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
所以函数值域为[3，＋∞)．
解法二：数形结合法
画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．
名师点拨：求函数值域的一般方法
3．配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例(2)．
4．不等式法：如例(3)．
5．单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域；如例(4)．
7．数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例(6)．
8．导数法：如例(3)．
【变式训练】
求下列函数的值域：
(3)y＝ln(－x2＋2x)；
(2)根据题意得－x2＋x＋2≠0，解得x≠－1且x≠2.
且－x2＋x＋2≠0.
(3)由－x2＋2x>0，解得0所以f(x)的定义域是(0,2)．
设t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
则0由对数函数的图象和性质可知y∈(－∞，0]，即函数f(x)的值域为 (－∞，0]．
(4)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，(共74张PPT)
第二章
函数
第三讲　函数的奇偶性与周期性
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有____________，那么函数f(x)是偶函数 都有_______________，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于_________对称 关于_________对称
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
y轴
原点
知识点二　函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_______________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________________，那么这个_______________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
最小的正数
最小正数
归 纳 拓 展
1．奇(偶)函数定义的等价形式
2．若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内
(1)y＝f(x)±g(x)为奇函数；
(3)y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]均为奇函数．
3．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.
4．函数图象的对称关系
5．一些重要类型的奇偶函数(a>0，a≠1)
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(－2,2]是偶函数．(　　)
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数f(x)的周期．(　　)
(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
(5)当x＝－π时，f(x＋2π)＝f(π)，π (－∞，0)无意义，故错误．
题组二　走进教材
2．(必修1习题3.2 T5改编)下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝ln |x| D．y＝2－x
[答案]　A
[解析]　根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．
3．(必修1习题3.2 T12改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
[答案]　B
4．(必修1习题3.2 T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
[答案]　B
[解析]　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a， －f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．(必修1习题3.2 T11改编)定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)＝f(－1)＝－f(1)、f(2)＝f(0)＝0，从而可求f(1)＋f(2)＋f(3)．因为函数以2为周期，所以f(3)＝f(－1)，f(2)＝f(0)，因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(0)－f(1)＝0，故选A.
题组三　走向高考
6．(2024·天津卷，4,5分)下列函数是偶函数的是(　　)
[答案]　B
7．(2024·上海卷，4,4分)设a∈R，且f(x)＝x3＋a是奇函数，则a＝________.
[答案]　0
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即03＋a＝0，解得a＝0.
考点突破 · 互动探究
函数的奇偶性
考向1　判断函数的奇偶性——自主练透
判断下列函数的奇偶性．
[分析]　先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
[解析]　(1)原函数定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
即函数f(x)的定义域是{x|－2(3)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
∴f(x)为奇函数．
名师点拨：判断函数的奇偶性的方法
1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．
2．图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
3．性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2　函数奇偶性的综合应用——多维探究
角度1　利用性质求解析式(值)
[答案]　C
2．(2024·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________.
[答案]　－ex＋2x＋1
[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
则当x＝0时，f(0)＝0.
当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，
又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，
则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.
角度2　利用奇偶性求参数的值或取值范围
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在[b－1,2b]上的奇函数，则a＋b＋c＝(　　)
[答案]　B
[解析]　依题意a＝c＝0，且2b＋(b－1)＝0，
A．－1 B．0
[答案]　B
所以x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0.
解法二：f(x)为偶函数，则有f(－1)＝f(1)，
名师点拨：
1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
【变式训练】
1．(角度1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　)
A．e B．－e
C．e＋1 D．－e－1
[答案]　B
[解析]　因为函数f(x)为R上的奇函数，
则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，
f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
2．(角度1)设f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[答案]　A
[解析]　当x<0时，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故选A.
[答案]　－1
函数的周期性——师生共研
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)求f(2)的值；
(3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式；
(4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)．
[解析]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.
(3)当x∈(－2,0]时，－x∈[0,2)，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈(2,4]时，x－4∈(－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
即当x∈(2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
且f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋ f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.f(2 024)＝f(0)＝0，f(2 025)＝f(1)＝1， f(2 026)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＋ f(2 025)＋f(2 026)＝1.
名师点拨：
高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．
函数周期性的三个常用结论：
1．若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
【变式训练】
[答案]　1
2．若函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则x∈[7,9]时的函数解析式是________.
[答案]　f(x)＝(x－8)2(x∈[7,9])
[解析]　由函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)可知f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，因此函数的周期是2.设x∈[7,9]，则－1≤x－8≤1，因此f(x－8)＝(x－8)2，根据函数的周期是2可知f(x－8)＝f(x)，因此f(x)＝(x－8)2.
函数性质的综合应用——多维探究
角度1　奇偶性与单调性结合
若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[0,2]
C．(－∞，－2]∪[0,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　由已知得图象，故选C.
[引申1]若将“奇函数”改为偶函数且(－∞，0)改为(－∞，0]，则结果为________.
[答案]　D
[解析]　如图．
[引申2]若将不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为__________________.
[答案]　[－1,0]∪[1,3]
角度2　奇偶性与周期性结合
1．已知函数f(x)为奇函数，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 029)＝(　　)
A．2　　 B．0　　
C．－2　　 D．－4
[答案]　A
[解析]　依题意，函数f(x)是奇函数，
又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，
则有f(2 029)＝f(－3＋508×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 029)＝2.
[答案]　D
[解析]　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)即f(－25)名师点拨：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【变式训练】
[答案]　A
又f(1)＝2，所以f(2x－3)<2可化为f(2x－3)2．(角度2)(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4)
[答案]　CD
[解析]　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．
因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，
从而f(－x)＝f(x－2)．
所以f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数．
3．(角度3)(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1,0]上是增函数．则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f(x)在[1,2]上是增函数
D．f(2)＝f(0)
[答案]　ABD
[解析]　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；
因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[－1,0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．
因为f(x)关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数，故C错误；
因为f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)，故D正确．
名师讲坛 · 素养提升
函数三大性质的综合应用
[答案]　B
[解析]　解法一：(定义法)∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)．又∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．∴f(1)＝－f(1)可得f(1)＝0.∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故选B.
解法二：(平移法)y＝f(x＋2)右移两个单位得到y＝f(x)，因此y＝f(x)关于x＝2对称，即f(x)＝f(4－x)，又y＝f(2x＋1)为定义在R上的奇函数，所以f(2×0＋1)＝0，∴f(1)＝0，∴f(－1)＝f(2×(－1)＋1)＝－f(2×1＋1)＝－f(3)＝－f(4－3)＝－f(1)＝0，故选B.
解法三：(特例法)
[答案]　①③
解法二：图象法
名师点拨：
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【变式训练】
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
[答案]　D
2．(多选题)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)为偶函数； B．f(x)在[－6，－3]上单调递减；
C．f(x)关于直线x＝3对称； D．f(100)＝5.
[答案]　ACD
[解析]　f(x)的图象关于直线x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于直线x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于直线x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故D正确．(共61张PPT)
第二章
函数
第四讲　幂函数与二次函数
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　幂函数
1．幂函数的定义
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
y＝xα
2．常见的五种幂函数的图象
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点______和_______，且在(0，＋∞)上单调递增；
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；
(4)当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为_______.
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
知识点二　二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝________________.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________.
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的_________.
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
零点
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域 _______________
______________
b＝0
归 纳 拓 展
一元二次不等式恒成立的条件：
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)幂函数y＝x－1是定义域上的减函数．(　　)
(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　)
(4)二次函数y＝a(x－1)2＋2的减区间是(－∞，1]．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
题组二　走进教材
[答案]　C
3．(必修1习题3.1T6改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
[答案]　A
[解析]　函数f(x)＝－2x2＋4x的图象开口向下，关于直线x＝1对称，在x＝1取得最大值2，在x＝－1取得最小值－6.故选A.
4．(必修1P58T6改编)已知f(x)＝x2－2 025x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　　)
A．2 025 B．－2 025
C．0 D．10 025
[答案]　C
题组三　走向高考
5．(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是(　　)
[答案]　C
[解析]　选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.
6．(2013·浙江卷文，7,5分)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
[答案]　A
又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，故选A.
考点突破 · 互动探究
幂函数图象与性质——自主练透
1．(2025·成都模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4　　　　　　 B．f(x)是减函数
C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数
[答案]　C
2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
[答案]　D
[解析]　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
[答案]　B
4．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是________.
[答案]　(－∞，1]
名师点拨：
1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
二次函数的图象与性质
考向1　二次函数的解析式——师生共研
[解析]　解法一：利用“一般式”解题．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用“顶点式”解题．
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
解法三：利用“零点式”解题．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
名师点拨：
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【变式训练】
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是直线x＝1，并且图象过点P(－1,7)，则a，b的值分别是(　　)
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
[答案]　C
又图象过点P(－1,7)，
所以a－b＋1＝7，即a－b＝6②，
联立①②解得a＝2，b＝－4.
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(－1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为(　　)
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
[答案]　D
[解析]　根据已知，得到抛物线的交点式方程，进而根据抛物线形状与抛物线y＝－2x2相同，得到a＝－2，展开可得答案．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c形状与抛物线y＝－2x2相同，∴a＝－2，又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(－1,0)，(3,0)，∴抛物线y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6，故选D.
考向2　二次函数的图象和性质——多维探究
角度1　二次函数的图象
(多选题)(2024·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
[答案]　ACD
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
名师点拨：二次函数图象的识别方法
二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2　二次函数的单调性与最值
已知函数f(x)＝x2－tx－1.
(1)若f(x)在区间(－1,2)上不单调，求实数t的取值范围；
(2)若x∈[－1,2]，求f(x)的最小值g(t)．
解得－2所以实数t的取值范围是(－2,4)．
所以f(x)min＝f(2)＝3－2t.
即t≤－2时，f(x)在[－1,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝t.
[引申]本例条件不变，求当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值G(t)．
[解析]　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t，
当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，
∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t；
当t<1时，f(2)－f(－1)>0，
∴f(2)>f(－1)，
∴f(x)max＝f(2)＝3－2t，
名师点拨：
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解．
1．对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解．
2．若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域．
【变式训练】
1．(角度1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)
[答案]　C
2．(角度2)(2025·济南模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f(1)C．f(4)[答案]　B
[解析]　因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，
又因为a<0，所以f(4)又f(1)＝f(3)，所以f(4)3．(角度2)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，则实数a的值为________.
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
名师讲坛 · 素养提升
二次函数恒成立问题
二次函数的恒成立问题是高考命题的热点，此类问题的处理方法较为灵活，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养．
[解析]　(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．
(2)因为对于 x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.
当－1<－a<1，即－1当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.
综上可得，实数a的取值范围是[－3,1]．
(3) x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3.
解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.
当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.
综上可得，实数a的取值范围是R.
[探究]　本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．
名师点拨：恒成立问题的解法
1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量．
2．对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．
对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
【变式训练】
1．(2024·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________.
[答案]　(－∞，－1)
[解析]　解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
所以g(x)在区间[－1,1]上单调递减，
则g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
2．已知函数f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.
[解析]　当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x，
得f(x0)∈[－1,3]．
因为对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，
使得g(x1)＝f(x0)，
即当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．(共60张PPT)
第二章
函数
第五讲　指数与指数函数
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
xn＝a
正数
负数
两个
相反数
(2)两个重要公式
a
a
－a
a
2．分数指数幂
(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝______ (a＞0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝_______(a＞0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．
ar＋s
ars
arbr
知识点二　指数函数的图象与性质
指数函数的概念、图象和性质
定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0图象
性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数
归 纳 拓 展
2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(4)函数y＝3·2x，与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
题组二　走进教材
2．(必修1习题4.1 T1改编)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
[答案]　B
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
[答案]　D
[解析]　因为x<0，y<0，
[答案]　D
题组三　走向高考
5．(2020·北京卷，6,4分)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1，
在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图：
两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)，
不等式2x>x＋1的解为x<0或x>1，
所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.
6．(2023·天津卷，3,5分)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝1.01x单调递增，∴f(0.5)g(0.6)，即a>c，∴b>a>c，故选D.
考点突破 · 互动探究
指数与指数运算——自主练透
求值与化简
所以a＋a－1＝7.
将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，
所以a2＋a－2＝47，
名师点拨：指数幂运算的一般原则
1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
指数函数的图象与性质
考向1　指数函数的图象及应用——师生共研
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0[答案]　D
[解析]　由题中f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b为减函数，所以0A．0C．0[答案]　CD
易知，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b均为负数，则a3．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
[答案]　D
[解析]　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵af(c)>f(b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，
∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
名师点拨：有关指数函数图象问题的解题思路
1．已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
4．根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
【变式训练】
1．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
[答案]　D
2．(多选题)已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．aC．0[答案]　ABD
[解析]　如图，观察易知，a3．已知函数y＝2|x＋a|的图象关于y轴对称，则实数a＝________.
[答案]　0
[解析]　由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2|x＋a|＝2|－x＋a|.根据指数函数的单调性可知|x＋a|＝|－x＋a|，只有当a＝0时，等式恒成立．故a＝0.
考向2　指数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较指数幂的大小
A．b>c>a 　 B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[答案]　A
角度2　解简单的指数方程或不等式
[答案]　B
②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，
即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．
角度3　指数函数性质的综合应用
(1)求a的值；
(2)若 x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
解得a＝－1.
(2)由(1)知a＝－1，
令t＝2x，t∈[2,4]，
名师点拨：
1．利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
2．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
[答案]　D
[解析]　解法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D.
A．f(x)的定义域为R B．f(x)是奇函数
C．f(x)在定义域上是减函数 D．f(x)无最小值，无最大值
[答案]　BD
[解析]　对于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，
故f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，
故f(x)是奇函数，故B正确；
故函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，
当x∈(－∞，0)时，f(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，
所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；
对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确．
[答案]　－3
[解析]　当m<2时，32－m－1＝9m－m＋2，即3－m＋1＝34，解得m＝－3；
名师讲坛 · 素养提升
指数函数中的分类与整合思想
由图象得t∈[－1,0]．
名师点拨：
分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：
1．指数函数的底数不确定时，应分a>1和02．解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．
【变式训练】
设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．
[解析]　设ax＝t，则a2x＝t2，
当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1，
所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)；(共58张PPT)
第二章
函数
第六讲　对数与对数函数
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作___________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数．
x＝logaN
a
N
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) ___________
常用对数 底数为______ ___________
自然对数 底数为______ ___________
logaN
10
lg N
e
ln N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝______；
②logaa＝______(其中a>0且a≠1)；
③logaab＝______(a>0且a≠1，b∈R)．
(2)对数恒等式
0
1
b
N
(3)对数的换底公式
logbN＝________(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
(4)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝______________；
③logaMn＝_________(n∈R)．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
知识点二　对数函数的图象与性质
1．对数函数的定义、图象和性质
定义 函数_______________________叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1
y＝logax(a＞0，且a≠1)
性质 定义域：______________ 值域：_____________ 当x＝1时，y＝0，即过定点___________ 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，________ 当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，________
在(0，＋∞)上为_________ 在(0，＋∞)上为_________
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
(1,0)
y＞0
y＜0
增函数
减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数__________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__________对称．
y＝logax
y＝x
归 纳 拓 展
1．换底公式的两个重要结论
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R且m≠0.
2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
双 基 自 测
题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)2lg 3≠3lg 2.(　　)
(4)函数y＝ln (x2－1)与y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)是同一函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[解析]　(3)设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.
题组二　走进教材
2．(多选题)(必修1习题4.3 T2改编)下列各式正确的是(　　)
B．lg 2＋lg 5＝1
C．(ln x)2＝2ln x
[答案]　BD
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案]　D
4．(必修1习题4.3 T3改编)写出下列各式的值：
(4)(log29)·(log34)＝________.
5．(必修1习题4.4 T5改编)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是_________.
[答案]　(2,2)
[解析]　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
题组三　走向高考
[答案]　64
A．cC．a[答案]　C
8．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
考点突破 · 互动探究
对数与对数运算——自主练透
[答案]　0
[答案]　1
[解析]　原式＝
3．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)
A．25 B．5
[答案]　C
4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________.
名师点拨：
1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法：
(1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；
(2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数．
2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
对数函数的图象与性质
考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研
1．(2025·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)
[答案]　A
2．已知函数f(x)＝|ln x|，若0A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
[答案]　C
名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题
1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练】
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
[答案]　A
[答案]　(1，＋∞)
[解析]　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．
考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究
角度1　比较对数值的大小
A．cC．a[答案]　D
2．(多选题)若实数a，b，c满足loga2A．aC．c[答案]　BCD
[解析]　由loga2由图象可知B，C，D可能成立．
角度2　解对数不等式
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]　C
[解析]　当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
当0角度3　对数函数性质的综合应用
(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
[答案]　A
[解析]　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，
f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，
令g(x)＝|x2－9|，
则f(x)＝ln g(x)，
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，
当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，
当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，
由复合函数单调性同增异减得单调区间，
由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．
名师点拨：
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
【变式训练】
1．(角度1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
[答案]　A
[解析]　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53> log63，∴a>b>c.
[答案]　[0，＋∞)
3．(角度3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
[解析]　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，
当0由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
得f(x)min＝loga(8－a)>1，得8－a4，故a不存在．
名师讲坛 · 素养提升
有关对数运算的创新应用问题
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
[答案]　D
名师点拨：
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
【变式训练】
(2024·湖南常德期末)党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计2023年人均增加1 000元收入，以后每年将在此基础上以10%的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过3 000元的年份大约是(参考数据：ln 3≈1.10，ln 10≈2.30，ln 11≈2.40)(　　)
A．2030年 B．2032年
C．2033年 D．2035年
[答案]　D(共62张PPT)
第二章
函数
第七讲　函数的图象
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点　函数的图象
1.利用描点法作函数图象的流程
2.平移变换
右移
左移
上移
下移
3.伸缩变换
4.对称变换
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
5.翻折变换
f(|x|)
|f(x)|
归 纳 拓 展
1.函数对称的重要结论
(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称.
(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线x＝m对称.
(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
2.函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(2x＋1)由y＝f(2x)左移1个单位得到.(　　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到.(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)
(5)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2).(　　)
(6)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
题组二　走进教材
[答案]　上　log2(x＋2)
3.(必修1P115T1改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　　)
A.y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C.y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
[答案]　C
[解析]　由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C.
题组三　走向高考
4.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　)
[答案]　B
5.(2022·全国乙卷，8,5分)下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象如图，则该函数是(　　)
[答案]　A
[解析]　由题图可知，当x＝3时，y<0.
对于C，当0考点突破 · 互动探究
函数的图象
考向1　利用图象变换作图——自主练透
作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(4)y＝|log2x－1|.
[分析]　(1)将y＝2x的图象左移一个单位得到y＝2x＋1的图象再下移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象；
(3)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；
(4)将y＝log2x的图象向下平移1个单位→y＝log2x－1的图象→将y＝log2x－1的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2x－1|的图象.
[解析]　(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①.
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图④.
名师点拨：函数图象的画法
1.直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.
3.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出.
易错提醒：1.画函数的图象一定要注意定义域.
2.利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考向2　识图与辨图——师生共研
角度1　知式选图
[答案]　A
角度2　知图选式
(2023·天津卷，4,5分)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
[答案]　D
角度3　知图选图
(2023·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是(　　)
[答案]　C
[解析]　解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象.所以答案为C.(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化).
解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2,0)，排除B、D.又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，排除A，故选C.
名师点拨：函数图象的识辨可从以下几方面入手
1.从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
4.从函数的周期性，判断图象的循环往复.
5.从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练】
[答案]　D
2.(角度2)(2025·黑龙江牡丹江省级示范性高中月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
[答案]　A
[答案]　C
考向3　函数图象的应用——多维探究
角度1　函数图象的对称性
A.－2 B．0
C.1 D．2
[答案]　A
故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
因此函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a＝－1，b＝1满足题意，故a－b＝－2.故选A.
2.(2024·四川南充二模)已知函数f(x)＝ex－e－x，则函数y＝f(x－1)＋1的图象(　　)
A.关于点(1,1)对称 B．关于点(－1,1)对称
C.关于点(－1,0)对称 D．关于点(1,0)对称
[答案]　A
[解析]　因为f(x)＝ex－e－x，所以f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，即f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x－1)＋1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1,1)对称.故选A.
[小题巧解]　用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题.
角度2　利用函数图象研究函数性质
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)＝0有三个解
C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D.函数F(x)有4个单调区间
[答案]　ABD
[解析]　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图.由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确.故选ABD.
角度3　利用函数图象研究不等式
A.(－1,0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0,1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1,0)∪(0,1)
[答案]　D
[答案]　(－∞，－1)∪(0,1)
名师点拨：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点及拐点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
2.利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.
【变式训练】
1.(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________.
[答案]　g(x)＝－ln(x－1)
[解析]　设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1).
2.(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　　)
A.直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C.直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
[答案]　D
[解析]　解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称.故选D.
解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称.故选D.
3.(角度2)(多选题)已知函数f(x)＝|lg x|，则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)值域为[0，＋∞)
C.f(x)在(0，＋∞)上递增 D.f(x)有一个零点
[答案]　BD
[解析]　画出f(x)＝|lg x|的函数图象如图，由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0，＋∞)，故B正确；f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选BD.
名师讲坛 · 素养提升
利用数形结合思想解题
[答案]　B
解法二：特例：令f(x)＝x＋1，则m＝2，又y1＋y2＝2，∴选B.
名师点拨：
求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：
【变式训练】
函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．3 B．6
C．4 D．2
[答案]　B
[解析]　由图象变换的法则可知，y＝ln x的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成y＝ln |x|的图象，向右平移1个单位长度得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos πx的周期T＝2.如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.(共70张PPT)
第二章
函数
第八讲　函数与方程
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一　函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.
注：函数的零点不是点.是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点.
f(x)＝0
2.几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与_________有交点 函数y＝f(x)有_________.
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
x轴
零点
f(a)f(b)＜0
f(c)＝0
知识点二　二分法
1.对于在区间[a，b]上连续不断且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近_________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
(3)计算f(c)
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c
(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c
(此时零点x0∈(c，b)).
(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4).
归 纳 拓 展
1.有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示.所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号.
(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0 函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 两个零点 一个零点 无零点
双 基 自 测
题组一　走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)
(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.(　　)
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点.(　　)
(5)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　)
(6)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
[解析]　(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.
(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.
(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以.
(5)f(x)＝2x在R上单调递增没有零点.
(6)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点.
题组二　走进教材
2.(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　)
[答案]　C
[解析]　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解.
C.(2，e) D．(e，＋∞)
[答案]　C
4.(必修1P155T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3
C.4 D．5
[答案]　B
[解析]　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
题组三　走向高考
5.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　)
C．1 D．2
[答案]　D
[解析]　令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1,1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2，若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1,1)，又因为2x2≥0,1－cos x≥0当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意.故选D.
考点突破 · 互动探究
函数的零点
考向1　确定函数零点所在区间——自主练透
1.(2024·浙江宁波期末)函数f(x)＝2x＋x3－9的零点所在区间为(　　)
A.(0,1) 　 B．(1,2)
C.(2,3) D．(3,4)
[答案]　B
[解析]　由已知，可知f(x)为增函数，且f(1)＝2＋1－9＝－6<0，f(2)＝4＋8－9＝3>0，根据零点存在定理，函数f(x)在(1,2)有零点，且零点是唯一的.故选B.
2.(多选题)若aA.(－∞，a) B．(a，b)
C.(b，c) D．(c，＋∞)
[答案]　BC
[解析]　易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b).又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选BC.
3.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1).当2[答案]　2
[解析]　因为2所以f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上是增函数，
所以01，
f(2)＝loga2＋2－b<3－b<0，
f(3)＝loga3＋3－b>4－b>0，
所以f(2)·f(3)<0，x0∈(2,3)，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
名师点拨：确定函数零点所在区间的方法
1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考向2　函数零点个数的确定——师生共研
A．3 B．2
C．7 D．0
[答案]　B
[解析]　解法一：(直接法)由f(x)＝0得
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
2.(2024·河南二模)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个.
[答案]　4
[解析]　函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点.
名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种方法
1.直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
3.数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题.画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
【变式训练】
1.(2025·江西景德镇质检)函数f(x)＝x2－sin 3πx的零点个数是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案]　B
[解析]　数形结合.故选B.
2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
考向3　函数零点的应用——多维探究
角度1　与零点有关的比较大小
A.x1>x2>x3 B．x2>x1>x3
C.x1>x3>x2 D．x3>x2>x1
[答案]　D
角度2　已知函数的零点或方程的根求参数
A.(1,3) B．(1,2)
C.(0,3) D．(0,2)
[答案]　C
[答案]　(－1,2]
令f(x)＝0，即g(x)＝m，
所以问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点，
在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，
结合图象可知，当－1由于函数f(x)＝g(x)－m有3个零点，结合图象得0[引申2]本例2条件变为“若f(x)恰好有2个零点”，求实数m的取值范围.
[解析]　由例题知m＝－1或m>2时，f(x)恰好有2个零点.即实数m的取值范围是{－1}∪(2，＋∞).
名师点拨：
1.比较零点大小常用方法
(1)确定零点取值范围，进而比较大小.
(2)数形结合法.
2.已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.
【变式训练】
1.(角度1)(2023·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.a>b>c D．c>a>b
[答案]　B
解法二：(数形结合法)在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a解法三：由概念知b>0，a<0，c＝0，∴b最大，选B.
A.[－1,0] B．[－2,0]
C.[－4,0] D．[－8,0]
[答案]　B
[解析]　当－1≤x<1时，f(x)＝|x|－1，
当1≤x<3时，－1≤x－2<1，
所以f(x)＝2f(x－2)＝2[|x－2|－1]＝2|x－2|－2，
当3≤x<5时，1≤x－2<3，
所以f(x)＝2f(x－2)＝2[2|x－2－2|－2]＝4|x－4|－4，
当5≤x<7时，3≤x－2<5，
所以f(x)＝2f(x－2)＝2[4|x－2－4|－4]＝8|x－6|－8，
当x＝7时，f(7)＝2f(5)＝0，
画出f(x)、y＝a的图象如图所示，
问题转化为函数f(x)的图象与直线y＝a的至少有5个公共点，由图可知，故a的范围是[－2,0].故选B.
二分法及其应用——自主练透
A.(0,1) 　 B．(1,2)
C.(2,3) D．(3,4)
[答案]　B
所取的第一个区间可以是(1,2).故选B.
2.在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为____________.
3.在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.
[答案]　7
名师点拨：
1.用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办？精确度上来判断.
2.利用二分法求近似解需注意的问题
(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.
名师讲坛 · 素养提升
一、嵌套函数的零点问题
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
[答案]　5
A.2 B．3
C.4 D．5
[答案]　D
则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，
所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0；
当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，
由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.
作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；
直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；
直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.
综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.
[答案]　B
【变式训练】
A.3 B．2
C.0 D．4
[答案]　A
[解析]　y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1.
当f(x)≤0时，f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，此时log2x＝0，计算得出x＝1，或者x＋1＝0，计算得出x＝－1.
当f(x)>0时，log2f(x)＝1，即f(x)＝2时，若x＋1＝2，计算得出x＝1(舍去)，若log2x＝2，计算得出x＝4.综上所述，函数y＝f[f(x)]－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.
A．5 B．4
C．3 D．6
[答案]　D
即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有6个零点.
二、函数零点的综合问题
A．8 B．7
C．6 D．5
[答案]　A
[解析]　因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，
作出函数f(x)与g(x)在区间[－3,5]上的图象，如图所示：
由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3,5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，
名师点拨：
以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题.
【变式训练】
[答案]　A(共51张PPT)
第二章
函数
第九讲　函数模型及其应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点　函数模型及其应用
1.几类常见的函数模型
2.三种函数模型的性质
　　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调_________ 单调_________ 单调递增
增长速度 越来越______ 越来越______ 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与______平行 随x的增大逐渐表现为与______平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax递增
快
慢
y轴
x轴
3.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
归 纳 拓 展
2.直线上升、对数增长、指数爆炸.
双 基 自 测
题组一　走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)
(2)幂函数增长比直线增长更快.(　　)
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[解析]　(1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.
(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制.
(3)对于在(0，＋∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快，其次是幂函数和对数函数.
题组二　走进教材
2.(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
[答案]　D
3.(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A.y＝2x B．y＝x2－1
C.y＝2x－2 D．y＝log2x
[答案]　D
[解析]　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.
4.(必修1P161T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子U形场地技巧赛.比赛是在一个形状类似于U形的槽子里进行.运动员一般需要在U形槽内做5到6个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的流畅性及美观性来判定.U形槽的结构由宽阔平坦的底部和两侧的凹面斜坡(四分之一的圆管)组成.宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下一个动作做准备.根据下图数据可得U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度(米)分别为(　　)
A.18°，6.7
B.18°，10.05
C.72°，6.7
D.72°，10.05
[答案]　C
[解析]　根据U形槽的结构特征即可求解.由题意，因为U形槽两侧圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90°－18°＝72°，底部的宽度为20.1－6.7×2＝6.7(米)，故选C.
题组三　走向高考
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A.p1≥p2 B．p2>10p3
C.p3＝100p0 D．p1≤100p2
[答案]　ACD
所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD.
考点突破 · 互动探究
函数模型及应用
考向1　利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透
1.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　)
A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
[答案]　ABC
[解析]　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
[解析]　由散点图的走势，知模型①不合适.
名师点拨：
1.用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
2.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
考向2　已知函数模型的实际问题——师生共研
(2024·北京昌平二模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生极佳口感；在20 ℃室温下，茶水温度从90 ℃开始，经过t min后的温度为y，可选择函数y＝60×0.9t＋20(t≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A.2.5 min B．4.5 min
C.6 min D．8 min
[答案]　B
[解析]　由题可知，函数y＝60×0.9t＋20(t≥0)，
名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点
1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
2.根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
3.利用该模型求解实际问题.
【变式训练】
(2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10 μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg 1.6≈0.20，ln 1.6≈0.47)(　　)
A.5 B．10
C.15 D．20
[答案]　B
考向3　构建函数模型解决实际问题——多维探究
角度1　一次函数、二次函数与分段函数模型
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润.
[解析]　(1)由题意知，当0≤x≤8时，
当8所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元.
名师点拨：
1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.
角度2　指数函数与对数函数模型
2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(　　)
A.4 B．5
C.6 D．7
[答案]　C
[解析]　设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.90n－1.
由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.90故至少需要“打水漂”的次数为6.
名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧
1.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.
2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
【变式训练】
2.(角度2)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B．1.8天
C.2.5天 D．3.5天
[答案]　B
名师讲坛 · 素养提升
(2025·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6 400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
[解析]　(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12 800元.
则0名师点拨：
1.解决此类问题时一定要关注函数的定义域.
【变式训练】
(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　)
A.10 000 B．10 480
C.10 816 D．10 818
[答案]　C

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