资源简介

2024-2025 学年四川省甘孜州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 7 . 3 =( )
A. 1 2 B. 1 52 2 C. 1 + 2 D.
1 5
2+ 2
2.已知向量 = ( + 1,1)， = (3, 3)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 12 2
3.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为 3：2：2，利用分层抽样的方法抽取容量为 35 的样本，则
从高一年级抽取学生人数为( )
A. 7 B. 10 C. 15 D. 20
4.已知圆台上下底面积分别为 ，4 ，母线长为 5，则该圆台的体积为( )
A. 7 B. 10 3 3 C.
14
3 D.
20
3
3 5.已知事件 ， 互斥， ( ∪ ) = 5，且 ( ) = 3 ( )，则 ( ) =( )
A. 17 B. 11 C. 9 320 20 20 D. 20
6 .在△ 中，若 = 3， = 3， = 1，则 =( )
A. 5 2 6或 6 B. 6 C. 3 D. 3或 3
7.一个袋子里装有 2 个红球和 2 个黑球，甲、乙每人随机不放回地取 1 个球，则互斥且不对立的两个事件
是( )
A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有 1 个红球”
8.如图，四面体 中， = 3， = 2， 、 分别为 、 的中点.若异面直线 与 所成角的大小
为 60°，则 的长为( )
A. 72 B.
13
2
C. 19 7 192 D. 2 或 2
第 1页，共 9页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中， 为边 的中点，则( )
A. = B. = +
C. = + D. =
10.已知 为虚数单位，则下列命题正确的是( )

A.若复数 = 3 + 4 ，则| | = 5
B.若| | = 1，则 =± 或±1
C.若复数( 2 + 3 4) + ( 2 2 24) 是纯虚数，则实数 = 1 或 4
D.在复平面内， 1， 2所对应的向量分别为 1, 2，其中 为坐标原点，若 1 ⊥ 2，则| 1 + 2| = | 1 2|
11.已知一直角三角形的两条直角边分别为 1 ，2 ，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边
旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是( )
A. 23
3 B. 43
3 C. 4 515
3 D. 4 5 35
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某次体检，7 位同学的身高(单位：米)分别为 1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据
的第 75 百分位数是______(米)．
13.某工厂统计了甲产品在 2024 年 7 月至 12 月的销售量 (单位：万件)，得到以下数据：
月份 7 8 9 10 11 12
销售量 11 12 14 15 18 20
根据表中所给数据，可得相关系数 ≈ ______. (结果用四舍五入法保留 2 位小数)


(
( 参考公式：相关系数 = =1 )( ) 6

，参考数据： ( )( ) = 32， 42 ≈ 6.48)
( )2
=1
=1 =1 ( )2
14.如图，在△ 中，点 在边 上，过点 的直线与 ， 所在的直线分别交
于点 ， ，且 是 的中点，若 = ， = 1 2( , > 0)，则 + 的最
小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在平行四边形 中， 是 的中点，且 在直线 上，且 = ，记 = ， = ， + =
2 1
3 + 2 ．
第 2页，共 9页
(1)求 的值；
(2)若| | = 3，∠ = ，且|3
| = 3，求| |.
16.(本小题 15 分)
如图 1，梯形 ′ ′ ′ ′是水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图，已知 ′ ′// ′ ′，
′ ′ = 2， ′ ′ = ′ ′ = 3．
(1)在图 2 给定的表格中画出四边形 ；
(2)若四边形 以 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构
特征．
17.(本小题 15 分)
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解
了本平台 600 个直播商家的利润状况后，随机抽取了 100 个商家的平均日利润(单位：百元)进行了统计，
所得的频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)．
第 3页，共 9页
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过 78 百
1
元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前3的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种
方案受到奖励的商家更多？并说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知四棱锥 ，底面 为菱形， = ， 为 上的点，过 的平面分别交 ， 于点 ，
，且 //平面 ．
(Ⅰ)证明： ⊥ ；
(Ⅱ)当 为 的中点， = = 3AB， 与平面 所成的角为 60°，求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)
当△ 的三个内角均小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 为△ 的“费马点”；
当△ 有一个内角大于或等于 120°时，最大内角的顶点为△ 的“费马点”.已知在△ 中，角 ， ，
所对的边分别为 ， ， ， 是△ 的“费马点”．
(1)若 + 3 = 0， = 2 3， < ．
①求 ；
②设△ 的周长为 2 3 + 6，求| | + | | + | |的值；
(2)若cos2 + cos2 cos2 = 1，| | + | | = | |，求实数 的最小值．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1.78
13.0.99
14.32 + 2
→ → →
15. → 1
→
解：(1) ∵ 是 的中点，∴ = + = 2 ，
→ → 2 → →∵ + = + 1 ， ．3 2
由 = 可知 = 1 1 +1 = +1 ．
∵ = + = + ( 1又 1+ ) ，∴ = 2．
→ → →
(2) ∵ = 3，及 = 2 可知， = 13
．
→
又由∠ = 3， = 3，
2

2 2 2 2
= 13
= 2 3
+ 1 9 = 3，得
+ 1 = 3，
解得 = 2．
2∴ = (
2
1 )2 = + 1
2
2 4
= 32 3 × 2 × cos ∠ + 1 × 224 = 9 6 ×
1
2 + 1 = 7．
∴ | | = 7．
第 5页，共 9页
16.(1)根据题意，因为 ′ ′与 ′轴重合，则 与 轴重合，且 = ′ ′ = 2，
′ ′与 ′轴平行，则 与 轴平行，且 = ′ ′ = 3，
′ ′与 ′轴重合，则 与 轴重合，且 = 2 ′ ′ = 6，
连接 ， ，即可得四边形 .如图所示：
(2)根据题意，所得的几何体是一个组合体，由两部分组成，
第一部分是以 为高， 为底面圆的圆心， 底面半径的圆锥，
另一部分是以 为高， 为直径再挖去同底等高的圆锥所得的几何体．
17.解：(1)由题意可知(0.005 × 2 + 0.015 + + 0.025 + 0.03) × 10 = 1，解得 = 0.02，
设中位数为 ，则 0.05 + 0.15 + 0.2 + ( 70) × 0.025 = 0.5，解得 = 74，所以中位数为 74，
平均数为(45 + 95) × 0.05 + 55 × 0.15 + 65 × 0.2 + 75 × 0.25 + 85 × 0.3 = 72.5．
(2) 80 78由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为( 10 × 0.25 + 0.3 + 0.05) × 600 = 240，
1
方案二受到奖励的商家的个数为3 × 600 = 200，
因为 240 > 200，所以方案一受到奖励的商家更多．
18.(Ⅰ)证明：连接 交 于 ，
因为 为菱形，
所以 ⊥ ，且 为 、 的中点，
∵ = ，
∴ ⊥ ．
∵ ∩ = ，且 面 、 面 ．
∴ ⊥面 ．
∵ 面 ，
∴ ⊥ ．
∵ //平面 ，且面 ∩平面 = ， 面 ，
∴ //MN．
第 6页，共 9页
∴ ⊥ ．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得 ⊥ 且 ⊥ ，
∵ = ，且 为 中点，
∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 面 ， 面 ，
∴ ⊥面 ，
∵ 与平面 所成的角为∠ = 60°．
可得 = 1 32 ， = 2 ，
∵ = 3 ，
∴ = 36 ．
以 为原点，建立如图的空间直角坐标系 ．
记 = 2，∴ (0,0,0)， (1,0,0)，
(0, 3 3 ， ， 13 , 0), ( 1,0,0), (0, 3 , 0) (0,0, 3) ( 2 , 0,
3
2 )，
∴ = (0, 2 33 , 0)，
= ( 3 3 ，2 , 0, 2 ) = ( 1,
3
3 , 0)，
= ( 1,0, 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 33 = 0由 ，取 = 1，可得 ．
= 3 3
= (1,0, 3)
2 + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + 3
由 3
= 0
，取 = 1，可得 = (1, 3, 3 )
= + 3 = 0 3
第 7页，共 9页
cos < , >= 39| || | = 13 ，
所以二面角 的余弦值为 39．
13
19.解：(1)①由 + 3 = 0, = 2 3, < ，
结合 = sin( + )，可得 + 3 ( + )
= 0，
即 3 = 0, ≠ 0，整理得 3 1 = 0，

3 = 1 2 ( ) = 1 sin( ) = 1所以 ，即 6 ，可得 6 2，
∈ (0, ) 5 因为 ，可得 6 ∈ ( 6 , 6 )，所以 6 = 6 , = 3．
②设| | = , | | = , | | = ，则( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 120° = 2 + 2 + ，
同理可得 2 = 2 + 2 + ， 2 = 2 + 2 + ，即 12 = 2 + 2 + ，
则 2 + 2 + 12 = 2 2 + 2 2 + + + + 2 2，
在△ 中由余弦定理知：(2 3)2 = + 2 2 3，即
2 + 2 = 12 + ，
结合 + = 6，可得( + )2 = 2 + 2 + 2 = 36，
所以 2 + 2 = 36 2 = 12 + ，解得 = 8， 2 + 2 = 20，2 2 + 2 2 + 2 2 + + + = 32，
1 1 1
根据等面积法，可知 △ = 2 120° + 2 120° + 2 120° =
1
2 sin

3，
整理得 + + = = 8，结合 2 + 2 + 2 = 12，可得( + + )2 = 12 + 2 × 8 = 28，
因此， + + = 2 7，即| | + | | + | | = 2 7；
(2)因为cos2 + cos2 cos2 = 1，
所以(1 sin2 ) + (1 sin2 ) (1 sin2 ) = 1，
整理得sin2 = sin2 + sin2 ，结合正弦定理得 2 = 2 + 2，
所以△ 为直角三角形， = 2，
因此，若点 为△ 2 的费马点，则∠ = ∠ = ∠ = 3，
设| | = | |，| | = | |，| | = ，( > 0, > 0, > 0)，则由| | + | | = | |，可得 + = ．
2 2
由余弦定理得| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 3 = (
2 + + 1) 2，| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 23 = ( +
+ 1) 2，
第 8页，共 9页
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2 2 2 23 = ( + + ) ，
结合| |2 + | |2 = | |2，可得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
由 2 > 0，整理得 + + 2 = ，且 > 0， > 0，
故 + + 2 = ≤ ( + 2 )
2，当且仅当 = ，即 = = 1 + 3时，等号成立．
因为 + = ，所以 2 4 8 ≥ 0，解得 ≥ 2 + 2 3或 ≤ 2 2 3(负值舍去)．
因此， ≥ 2 + 2 3，可知实数 的最小值为 2 + 2 3．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑