资源简介

2024-2025 学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有下列命题：
①| |与| |是否相等与 ， 的方向无关；
②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
④单位向量都是共线向量．
其中正确说法的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.要得到函数 = 2 的图象，只需将函数 = 2sin(2 + 4 )的图象上所有的点的( )
A. 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度
B. 1 横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8个单位长度

3.已知集合 = { |( + ) + ( ) + 2 = 0, , ∈ , ∈ }， = { || | = 1, ∈ }，若 ∩ = ，则
、 之间的关系是( )
A. 2 + 2 > 1 B. 2 + 2 < 1 C. + > 1 D. + < 1
4.设函数 ( ) = 3 + 2 + 1.若实数 ， ， 使得 2 ( ) + ( ) = 1 对任意的实数 恒成立，则

的值等于( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
二、填空题：本题共 12 小题，共 38 分。
5 1 .不等式 > 0 的解集为______．
6.函数 = 的最小正周期是______．
7.在锐角△ 中，若 3 = 2 ，则 等于______．
8.已知复数 = ( + 2 )(1 2 )( ∈ )是纯虚数，则复数 的虚部为______．
9 = 3+ .已知复数 1 2 ( ∈ )满足| | = 5，则 = ______．
第 1页，共 6页
10.已知 = (1,2), = ( , 3)，若 与 夹角为锐角，则 的取值范围为______．
11.设 1、 2是平面上两个不共线的向量， = 2 1 + 2, = 1 2, = 3 1+ 2 2；若 ， ， 三点
共线，则 的值为______．
12.已知△ 中，三边分别为 ， ， ，所对角为 、 、 ，若( + + )( + ) = 3 ，则∠ = ______．
13.在△ 中， 为 中点，| | = 10，| | = 2，则 = ______．
14.如果 ， 是方程 2 3 3 = 0 sin( + )的两根，则cos( ) =______．
15.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已
1
知平面向量 ， 为单位向量， = 3 .若平面向量 满足| | = 2| | |
|，则| | + | |的最大值是______．
16.对任意闭区间 ，用 表示函数 = 在 上的最小值.若正数 满足 [ ,2 ] = 2 [2 ,3 ]，则 的取值集合
为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
已知函数 ( ) = log ( 1)，( > 1)．
(1)无论常数 为何值， ( )均过一定点，写出此定点坐标；
(2)关于 的不等式 ( ) > 1 的解集为 ，且 (4, + ∞)，求实数 的取值范围．
18.(本小题 8 分)
平面内给定三个向量 = (3,2), = ( 1,2), = (4,1)．
(1)求向量 在 上的投影的坐标；
(2)若 + // ，求实数 ．
19.(本小题 10 分)
已知关于 的方程 2 + 2 = 0，( ∈ )．
(1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围；
(2)若上述方程的两根为 1， 2，且| 1 2| = 2，求实数 的值．
20.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = sin2 + 3 ．
(1)求出函数 ( )的单调增区间；
(2)当 ∈ [0, 4 ]时，求函数 ( )的最大值；
(3)若当 ∈ [0, 4 ]时，( + 2) ( ) ≥ 2 + 3 恒成立，求实数 的取值范围．
第 2页，共 6页
21.(本小题 12 分)
给定函数 ( ) = cos( )，( ∈ , ≥ 1)．
(1) 直接写出 2( 3 ) 3( 6 )的值；
(2)若 ( ) = 1( ) +

1( + 2 ) + 2( 4 )，求 ( )的值域；
(3) ( ) = | ( )| + | 2( )| + | ( )|设 1 2 ，证明：对任意 > 0，都存在实数 以及无穷多对正整数对( , )，
使得| ( ) | < 成立．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{ |0 < < 1}
6.
7. 3
8.10
9.±4
10.{ | > 6 ≠ 3且 2 }
11.12
12. 3
13.99
14. 32
15.4 63
16.{ 11 19 arcsin 1012 、 18 、 4 }．
17.(1)令 1 = 1，解得 = 2，
(2) = log 1 = 0，因此定点坐标为(2,0)
(2)由 ( ) = log ( 1) > 1， > 1，
可得 1 > 1 > + 1．
因此解集 = ( + 1, + ∞)．
若 (4, + ∞)，则( + 1, + ∞) (4, + ∞)．
所以 + 1 ≥ 4，解得 ≥ 3，
故 的范围为{ | ≥ 3}．
18.(1)由 = (3,2), = ( 1,2), = (4,1)，
可得向量 在 上的投影的坐标为：
第 4页，共 6页
= 3+4 2 5 ( 1,2) = (
1 , 25 5 )；| |
(2)由题意， + = (4 + 3, + 2)， = (5, 1)，
若 + // ，则存在 ∈ ，使得 + = ( )，
即(4 + 3, + 2) = (5, 1)，
4 + 3 = 5 13
即 + 2 = ，解得 = 9．
19.(1) ∵方程有虚数根，
∴ = 2 8 < 0 2 2 < < 2 2，
则 的取值范围为( 2 2, 2 2)；
(2)①△≥ 0时，
| 21 2| = ( + )21 2 4 1 22 = 8 = 4 =± 2 3；
② < 0 时，
| 1 2|2 = [( 1 + 2)2 4 1 2] = 4，则 =± 2，
综上， 的值为 ±2 或 ± 2 3．
20.(1) ( ) = sin2 + 3 = 1 2 32 + 2 2
= 32 2
1
2 2 +
1
2 = sin(2

6 ) +
1
2，
令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
解得 6 + ≤ ≤ 3 + ， ∈ ，

函数 ( )的单调增区间为[ 6 + ,

3 + ]， ∈ ；
(2) ∈ [0, ] 2 ∈ [ 4 ， 6 6 , 3 ]，
当 2 = 1+ 36 3时， ( )取得最大值 2 ；
(3) (2) ( ) ∈ [0, 1+ 3由 知， 2 ]，( + 2) ( ) 2 3 ≥ 0 恒成立，
①当 = 2 时，1 ≥ 0 恒成立，
②当 ≠ 2 时，关于 ( )的一次函数，
( + 2) 0 2 3 ≥ 0
则 1+ 3 ≤
3
2且 ≠ 2，( + 2) 2 2 3 ≥ 0
3
综上所述， 的范围为( ∞, 2 ]．
第 5页，共 6页
21.(1) ( ) ( ) = cos 2 cos 12 3 3 6 3 2 = 2．
(2)若 ( ) = 1( ) + 1( +

2 ) + 2( 4 )

= + cos( + 2 ) + cos(2 2 )
= + 2 ，
令 = = 2sin( + 3 4 ) ∈ [ 2, 2]，
2
2 = 1 2 = 1 2 ，
原式等价于 = 2 + + 1 1，对称轴为 = 2，
= 1 5当 2，函数取最大值4，
当 = 2，函数取最小值 1 2，
所以 ( ) [ 1 2, 5的值域为 4 ]，
(3) | 由题意知 ( ) = | ( )| + 2( )| 1 2 + … +
| ( )| |cos( )|
= =1 ，
= 0 cos(0) = 1 (0) = cos(0) 1当 时， =1 = =1 ，
易知∞ 1 =1 = 1 +
1 + ( 1 + 1 ) + ( 12 3 4 5 +
1+ 1 + 1 1 1 16 7 8 ) + > 1 + 2 + 4 × 2 + 8 × 4 + 1 +
=1 1
=2 2 = ∞，
1 1
由比较判断法知∞ =1 发散，即 =1 是发散的，
由 逼近定理知：对于任意实数 和正整数 ，存在整数 和 ，其中 1 ≤ ≤ ，
使得| | < 1 1 ，而对于数列 =

=1 在模 1 下是均匀分布的，
1
故一定存在无穷多个正整数 ，使得 =1 与某个整数 的距离小于 ，
1 1
即| =1 | < ，此时取 = 0，则 ( ) =

(0) = =1 ，满足任意 > 0，
都存在实数 = 0 及无穷多对正整数对( , )使得| ( ) | = |
1
=1 | < 成立，证毕．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑