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15.1.2 线段的垂直平分线的性质
第十三章 轴对称
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
15.1. 图形的轴对称
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
学习重点
学习难点
1.能叙述出线段垂直平分线的性质
2.能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题
3.能说出线段垂直平分线的判定方法.
理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定
能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题
学习目标
新课导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
线段垂直平分线的性质
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
讲授新课
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
讲授新课
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
验证结论
讲授新课
归 纳
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
应用格式：
∵　因为l是AB的垂直平分线，点P在AB上，
∴　PA =PB．
P
A
B
l
C
讲授新课
如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线
DE交AB，AC于点E，D，
(1)若△BCD的周长为 8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
例题
讲授新课
导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD
与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周
长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的
周长．
解： ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
讲授新课
总 结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性
质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD
的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的
长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其
二可求第三者．
讲授新课
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
练一练
讲授新课
8
A
B
C
D
E
3.如图，在△ABC 中，BC =8，AB的中垂线交BC于D，AC的
中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______．
讲授新课
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
PA=PB=PC
PB=PC
点P在线段BC的垂直平分线上
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
解析：
例题
讲授新课
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB.
同理 PB=PC.
∴PA=PB=PC.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？
讲授新课
例题
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
讲授新课
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
讲授新课
线段垂直平分线的判定
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
合作探究
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
讲授新课
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
讲授新课
知识要点
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
讲授新课
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
讲授新课
应用格式：
∵　AB =AC，MB =MC，
∴　直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
讲授新课
例题
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
讲授新课
例题
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？
讲授新课
例题
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分
∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的
垂直平分线．
讲授新课
导引：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D
在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE
的垂直平分线上，就能证明．
证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上；
在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD，
CD＝ ED，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，
∴点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
讲授新课
利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平
分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点
的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．
总 结
讲授新课
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
互逆命题
想一想：这两个命题有什么特点？
这两个命题的题设、结论正好相反，具有这种关系
的两个命题叫作互逆命题.把其中一个叫作原命题，另
一个叫作它的逆命题.
讲授新课
例题
说说下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假：
1.两直线平行，同旁内角互补；
2.等边三角形一定是等腰三角形；
3.邻补角互补；
4.互为相反数的两个数和为0；
5.如果ab=0，那么a=0.
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的
是（　　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
当堂练习
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,
则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
当堂练习
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共
有　　　　种.
无数
当堂练习
（1）如果a>b，那么|a|>|b|:是假命题，比如a=-1，b=-4时|a|<|b|，；
逆命题：如果|a|>|b|，那么a>b，是假命题，比如a=-4，b=1，-4<1；
（2）如果a=b，那么a2=b2:是真命题；
逆命题：如果a2=b2，那么a=b，是假命题，比如a=2，b=-2时，不成立．
5.写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假．
（1）如果a>b，那么|a|>|b|；
（2）如果a=b，那么a2=b2.
当堂练习
6.找出下列命题中互逆的命题（用序号表示）
（1）直角都相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）如果，那么；
（4）两直线平行，同位角相等；
（5）相等的角都是直角；
（6）如果，那么．
（1）和（5）是互逆命题；
（2）和（4）是互逆命题.
当堂练习
7.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
当堂练习
8.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴
点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴
AO=BO.
当堂练习
9.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
当堂练习
10.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
当堂练习
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：
在△AOC和△AOD中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
互逆命题
THANKS
侵权必究

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