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1.2.4 二面角
主讲：张明明
人教B版选择性必修第一册
第1章 空间向量
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗？
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长。
一、空间中两点之间的距离
A
B
因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可以通过向量来求空间中两点之间的距离。
|=
设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)为空间中任意两点，则
如何用空间向量求点到直线的距离？
A
Q
P
l
如何用空间向量求点到直线的距离？
A
Q
P
l
二、点到之间的距离
A
Q
P
l

思考：两条平行线间的距离应该如何表示？
l1
l2
A
Q
P

二、点到之间的距离
A
Q
P
l

l1
l2
A
Q
P

平行线间距离
点到直线距离
【典型例题一】
例1 已知直线 l 经过点A(2,3,1)，若向量u=(1,0,-1)是直线 l 的方向向量，则点P(4,3,2)到 l 的距离为_____
A
P
l
Q
【典型例题一】
变式 已知直线 l 经过点A(2,3,1)，若向量n=(1,0,-1)所在直线与 l 垂直，则点P(4,3,2)到 l 的距离为_____
A
P
l
Q
n
如何用空间向量求点到平面的距离？
A
Q
P
l
α
三、点到平面的距离


A
Q
P
α
P
l
α
β
思考：直线和平面平行，则线面距离如何求解？
两个平行平面的距离呢？
三、点到平面的距离


A
Q
P
α
P
l
α
β
平行的线面距离
点到平面距离
平行的平面距离
【典型例题二】
例2 已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1)，点A(-1,3,0)在α内，则P(-2,1,4)到α的距离为(　　)
答案: D
【典型例题二】
练习 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离。
A1
B1
C1
D1
A
D
C
B
E
F
x
z
y
【典型例题二】
练习 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离。
A1
B1
C1
D1
A
D
C
B
E
F
x
z
y
课堂小结

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