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(共19张PPT)
1.2.3 直线与平面的夹角
主讲：
人教B版选择性必修第一册
第1章 空间向量
日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象。
例如，在握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度。
那么，怎样来刻画直线与平面所成的角呢？

l
m

平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，
称为这条斜线与平面所成的角。
一、直线与平面的夹角
l
A1

A
B
若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°；
若直线与平面平行，或直线在平面内，则直线与平面所成角为0°.
直线与平面所成角范围：[0°，90°]

M

O
A
A1
θ1
θ2
θ
易知ΔAA1O，ΔAA1M，ΔA1OM，ΔAMO都是直角三角形.
设OA=1，则在RtΔAA1O中，OA1=OAcosθ1=cosθ1
在RtΔA1OM中，OM=OA1cosθ2=cosθ1cosθ2
在RtΔAMO中，OM=OAcosθ=cosθ
所以，cosθ=cosθ1cosθ2，
所以，cosθ≤cosθ1，
因为θ与θ1都是锐角，所以θ≥θ1
这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。
【典型例题一】
C

A
P
M
B

如何用空间向量求两条直线的夹角？
两条直线l1，l2夹角的范围：

如何用空间向量求直线与平面的夹角？
l
l
l
l
如何用空间向量求直线与平面的夹角？
l
l

二、用空间向量求直线与平面的夹角

l
l
A
B
A
B
【典型例题二】
例2. 已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求B1D1与平面A1BCD1所成角的大小.


化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题



【典型例题二】
练习. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求直线CD与平面MCA1所成角的正弦值。
【典型例题二】

解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点,
所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2)，D(0,0,0).

设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
取z =3, 则x=2, y=3，则n=(2,3,3)

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A
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