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(共18张PPT)
1.2.4 二面角
主讲：张明明
人教B版选择性必修第一册
第1章 空间向量
直线与平面的范围：

日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象。
例如，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(2)所示，很多屋顶都是二面角的形象。
你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线.
一、半平面与二面角
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面.
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
一、半平面与二面角
l


二面角的棱
二面角的面
在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
二、二面角的平面角
特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
约定二面角及其平面角大小范围：[0，π]
三、用空间向量求二面角的大小
n1
n2
α
β
l



n1
n2
α
β
l



三、用空间向量求二面角的大小
n1
n2
α
β
l



n1
n2
α
β
l



【典型例题一】
例1. 如图所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC α，AC⊥l，BD β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α-l-β的大小.
【典型例题一】
解：如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD，连接CE，ED.
因为四边形AEDB是一个矩形，
所以∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角.
又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，
从而
【典型例题二】
例2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
【典型例题三】
例3. (2023深圳期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且AB=2，AD=1，AA1=3，D1E=BF=1.
(1)证明:EF⊥A1E;
(2)求平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值.
【典型例题三】
课堂小结

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