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1.2.2 空间中的平面与空间向量
主讲：
人教B版选择性必修第一册
第1章 空间向量
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢
我们已经知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置。那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？
尝试与发现
根据共面向量基本定理，同一个平面内的所有向量都可以用两个不共线的向量来表示. 这两个不共线的向量也称作一组基底. 因此有同学提出，可以用基底来表示一个平面.
这种方法的缺点就是需要两个向量. 那么能不能类似于直线的方向向量，只用一个向量来表示平面呢？
一、平面的法向量
n

l
一、平面的法向量
n

l
法向量的性质：



n//v

n
v

n
v


l
l
n⊥v

n1⊥n2
n1
n2
n2
n1//n2
n1
【典型例题一】
例1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点，求证：MN//平面ADD1A1.
B
C
D
A
M
B1
A1
D1
C1

x
y
z
N
【平面法向量的求法】
法一：观察法
在立体图形中直接观察与平面垂直的直线.
B
C
D
A
B1
A1
D1
C1
【典型例题二】
例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。
O
A
B
C
x
y
z
【典型例题二】
例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。
O
A
B
C
x
y
z
【典型例题二】
练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
(1)求直线CD的方向向量；
(2)求平面BCC1B1的法向量；
(3)求平面MCA1的法向量。

【典型例题二】
练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
(1)求直线CD的方向向量；
(2)求平面BCC1B1的法向量；
(3)求平面MCA1的法向量。
(2)解：因为y轴垂直于平面BCC1B1，
所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
【典型例题二】
(3)求平面MCA1的法向量。

解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点,
所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2).
设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，

取z =3, 则x=2, y=3.


A
A1
B
l
(1)求证：当l⊥A1B时，l⊥AB；

A
A1
B
l


(2)求证：当l⊥AB时，l⊥A1B；

A
A1
B
l


二、三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

A
A1
B
l
【典型例题三】
例3. 如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1.
证明：连接AD1，
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以AB⊥平面ADD1A1，
所以BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1
又因为ADD1A1是正方形，
所以A1D⊥AD1，
因此根据三垂线定理可知，A1D⊥BD1
A
B
C
D
O
A1
D1
C1
B1
【典型例题三】
例4. 如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为ΔCAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB.

O
A
B
C
D
当堂练习
1.若A(-1,0,1)，B(1,4,7)两点都在直线上，则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)
A
当堂练习
2.已知向量n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.n1=(0,-3,1) B.n2=(2,0,1)
C.n3=(-2,-3,1) D.n4=(-2,3,-1)
D
当堂练习
3.若平面α，β的法向量分别为a=(2,-1,0)，b=(-1,-2,0)，则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
B
课堂小结

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