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2.5.2 椭圆的几何性质
主讲：
人教B版选择性必修第一册
第2章 平面解析几何
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
一、范围
F1
F2
O
B2
B1
A1


≥ 0
则 -a ≤ x ≤ a
同理 -b ≤ y ≤ b
二、对称性
F1
F2
O
B2
B1
A1
A2
对称轴：
对称中心：
x轴，y轴
原点
三、顶点与轴长
F1
F2
O
B2
B1
A1
A1(-a,0) A2(a,0)
B1(0,-b) B2(0,b)
顶点：
长轴：
线段A1A2
短轴：
线段B1B2
长轴长=2a，
长半轴长=a
短轴长=2b，
短半轴长=b
观察右图，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
四、离心率
F1
F2
O
B2
B1
A1
A2
离心率：
e越接近1，椭圆越扁平；
e越接近0，椭圆越接近圆.
五、焦半径
F1
F2
O
P
焦半径：椭圆上的点到焦点的距离
|PF1|∈[a-c,a+c]
六、通径
F1
O
M
通径：过焦点且垂直长轴的弦
N
F2
焦点F2(c,0)，
设M(c,y0)
椭圆的几何性质
顶点
焦点
轴长与焦距
焦半径
离心率
通径
(-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b)
(-b,0) (b,0) (0,-a) (0,a)
(-c,0) (c,0)
(0,-c) (0,c)
长轴长2a，短轴长2b，焦距2c
椭圆上的点到焦点的距离，范围：[a-c,a+c]
【典型例题一】
例1. 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
a=5，b=4，c=3
长轴长10，短轴长8
F1(-3,0) F2(3,0)
左右顶点(-5,0) (5,0) 上下顶点(0,-4) (0,4)
解：
【典型例题二】
【典型例题二】
【典型例题三】
【典型例题三】
【典型例题四】
例4 已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率为( )
D

P
F1
F2
O
x
y
课堂小结
顶点
焦点
轴长与焦距
焦半径
离心率
通径
(-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b)
(-b,0) (b,0) (0,-a) (0,a)
(-c,0) (c,0)
(0,-c) (0,c)
长轴长2a，短轴长2b，焦距2c
椭圆上的点到焦点的距离，范围：[a-c,a+c]

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