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1.1 三角形中的线段和角
第1课时 三角形的边和角
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
探索并证明“三角形的任意两边之和大于第三边.”
探索并证明“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.”
利用三角形三边关系、边角关系，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力.
情境引入
为什么有很多建筑物的结构用三角形？
三角形具备哪些独特性质呢？
操作观察
1. 在方格纸中画出可以和给定三角形重合的三角形.
如何确定三角形的形状和大小？
操作观察
2. 你能画出以下列长度的线段为边的三角形吗？试一试.
(1) 4，4，4；(2) 3，5，7；(3) 3，4，5.
(1)
(2)
(3)
上面画出的三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形？
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
三角形的三边具有什么性质？三角形的边与角之间有什么关系呢？
新知探究
能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？
2
3
6
(1)
(2)
3
4
7
不能
不能
三角形两边之和大于第三边.
新知探究
如何证明三角形两边之和大于第三边？
证明：∵BA＋AC是连接B，C两点的折线长度，
BC是连接B，C两点的线段长度，
∴ BA＋AC＞BC
(两点之间的所有连线中，线段最短).
同理，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC.
B
C
A
新知归纳
三角形的任意两边之和大于第三边.
B
C
A
符号语言：
在△ABC中，
BA＋AC＞BC，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC.
新知探究
讨论：三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？
B
C
A
已知：如图，△ABC，
求证：AB－AC＜BC.
证明：∵在△ABC中，AC＋BC＞AB
(三角形任意两边之和大于第三边)，
∴ AC＋BC－AC＞AB－AC (不等式的基本性质).
∴ BC＞AB－AC，
即AB－AC＜BC.
新知应用
1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1) 1，4，7；(2) 3，5，8；(3) 5，6，9.
解：(1)因为1＋4＝5＜7，所以不能构成三角形；
(2)因为3＋5＝8，所以不能构成三角形；
(3)因为5＋6＝11＞9，所以能构成三角形.
方法总结
判断三条线段能否组成三角形的方法：
1. 判断三条线段长度的大小关系；
2. 求两条较短线段的长度的和.
若大于最长线段的长度，则可以组成三角形；
若小于或等于最长线段的长度，则不可以组成三角形.
新知应用
2. 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长.
解：设第三边的长为x，
根据两边之和大于第三边，得2＋7＞x且2＋x＞7，
解得 5＜x＜9。
因为它是奇数，所以x只能取7.
三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和.
典例分析
例1 如图，在△ABC中，点D在边BC上. 求证：AC＋CB＞AD＋DB.
在△ACD中，AC＋CD＞AD
(三角形两边之和大于第三边).
∴AC＋CD＋DB＞AD＋DB
(不等式的性质).
即AC＋CB＞AD＋DB.
B
C
A
D
证明：
巩固
新知巩固
如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB.
求证：AP＋BP＜AC＋BC.
B
C
A
P
证明：延长AP交BC于点D.
在△ACD中，AC＋CD＞AD，
在△BDP中，BD＋DP＞BP，
两式相加得:
AC＋CD＋BD＋DP＞AD＋BP，
即AC＋BC ＞AP＋BP.
D
新知探究
B
C
A
我们可以通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小.
把AC沿∠A的平分线AD翻折，如图，
∵ AB＞AC，所以点C落在边AB上的点C′处.
∴∠AC′D＝∠C.
∵ ∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，
∴∠AC′D＞∠B，
∴∠C＞∠B.
在△ABC中，已知AB＞AC，∠B和∠C哪个更大？
D
C′
新知巩固
反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？
B
C
A
已知：△ABC，∠C＞∠B，
求证：AB＞AC.
证明：假设AB≤AC，则∠C≤∠B.
与∠C＞∠B矛盾，假设不成立.
所以AB＞AC.
新知归纳
在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.
典例分析
例2 如图，在△ABC中，AB＜AC.
(1) 比较∠B，∠C的大小，并说明理由；
解：(1) ∠B＞∠C.
∵AC＞AB (已知)
∴∠B＞∠C (在同一三角形中，较大的
边所对的角也比较大).
B
C
A
H
典例分析
例2 如图，在△ABC中，AB＜AC.
(2) 若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由.
B
C
A
H
解：(2) ∠BAH＜∠CAH.
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°.
∴∠BAH＋∠B＝90°，
∠CAH＋∠C＝90°.
∵∠B＞∠C，
∴∠BAH＜∠CAH.
新知巩固
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，比较AB和BC的大小，并说明理由.
证明：∵∠C＞∠A
∴ AB＞BC
(在同一三角形中，较大的角所对的
边也比较大)
C
A
B
新知巩固
2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在BC上，比较AC和AD的大小，并说明理由.
B
C
A
D
证明：∵∠ADC＞∠C
∴ AC＞AD
(在同一三角形中，较大的角所对的
边也比较大)
课堂小结
三角形的边和角
三角形三边关系
三角形边角关系
三角形任意两边之和＞第三边
三角形任意两边之差＜第三边
大边对大角
大角对大边
感谢聆听！

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