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1.1 三角形中的线段和角
第2课时 三角形的中线、角平分线、高
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义.
会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线.
理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征.
情境引入
小熊和小猫想均分一块蛋糕，如何切呢？
操作观察
如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？
D
当D为BC的中点时，位置特殊.
操作观察
如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？
D
当AD平分∠BAC时，位置特殊.
操作观察
如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动. 在这个过程中，橡皮筋(线段)的位置不断变化. 你认为其中有哪些位置是特殊的？
D
当AD垂直BC时，位置特殊.
概念引入
在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线.
B
A
C
D
如图，点D在BC上，BD＝CD，线段AD是△ABC的中线.
概念引入
在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
B
A
C
E
如图，点E在BC上，∠BAE＝∠CAE，线段AE是△ABC的角平分线.
概念引入
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为H，线段AH是△ABC的边BC上的高.
B
A
C
H
新知巩固
B
C
A
D
E
F
1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE，AD相交于点F. 指出图中三角形的角平分线和中线.
解：AD是△ABC的角平分线，
AF是△ABE的角平分线，
BE是△ABC的中线，
DE是△ADC的中线.
新知巩固
B
C
A
D
E
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E.指出图中DE，AC分别是哪些三角形的高.
解：∵∠C＝90°，
∴ AC是△ABC，△ACD，△ABD的高，
∵ DE⊥AB，
∴ DE是△ABD，△ADE，△BDE的高.
3. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. 填空：
(1) BD＝_______＝ _______；
(2) ∠BAE＝________＝ ________；
(3) ∠AFB＝________＝_____°.
新知巩固
B
C
A
D
E
F
CD
BC
∠CAE
∠BAC
∠AFC
90
尝试交流
如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高.
F
E
B
A
C
D
解：如图， AD是△ABC的中线， AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的高.
三角形的中线、角平分线、高各有几条？
新知探究
取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现？
B
A
C
B
A
C
B
A
C
E
新知探究
中线和高也交于一点吗？请你试一试.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
新知探究
中线和高也交于一点吗？请你试一试.
B
A
C
A
B
C
A
B
C
新知归纳
符号语言 基本特征 图示
角平分线
中线
高
∵ AD是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC.
∵ AE是△ABC中BC边上的中线，
∴ BE＝EC＝BC.
∵AF是△ABC中BC边上的高，
∴ AF ⊥BC.
在三角形内部且相交于一点.
在三角形内部且相交于一点.
所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部.
典例分析
例1 如图，AD是△ABC的中线.
求证：△ABD和△ADC的面积相等.
B
A
C
D
证明：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H.
AH是△ADC的高，也是△ABD的高.
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD＝DC.
又∵S△ABD＝BD·AH，S△ABD＝BD·AH，
∴S△ABD＝S△ADC.
H
你会均分小熊的蛋糕了吗？
典例分析
例2 如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC＝∠B. 求证：∠ADE＝∠DAE.
B
A
E
D
C
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∠DAE＝∠EAC＋∠CAD，
∠EAC＝∠B，
∴∠ADE＝∠DAE.
新知巩固
1. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°.
求证：ED∥BC.
B
C
A
D
E
2
1
证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，
∵∠1＝25°，
∴∠ABC＝2×25°＝50°.
∵∠2＝50°，
∴∠ABC＝∠2.
∴ED∥BC.
新知巩固
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm.
(1) △ABC中AC边上的高是_____，BC边上的高是_____；
(2) 在图中画出AB边上的高CD，并求CD的长；
A
C
B
4cm
3cm
D
解：(2) 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以△ABC的面积＝×AB×CD＝ ×AB×CD，
因为AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，
所以CD＝＝＝cm。
新知巩固
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm.
A
C
B
D
(3) 能否在BC边上取一点E，使△ACE与△ABE的面积相等？
E
解：(3) 取BC的中点E，则CE＝BE＝ BC。
因为△ACE的面积＝×CE×AC＝×BC×AC，
△ABE的面积＝ ×BE×AC＝×BC×AC，
所以△ACE与△ABE的面积相等。
课堂小结
三角形中的三条重要线段
中线
角平分线
等分三角形的面积
高
有多条高时，考虑等面积法求线段.
感谢聆听！

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