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1.4 线段垂直平分线与角平分线
第2课时 角平分线的性质
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念．
掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明．
通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力．
操作引入
在一张薄纸上画∠AOB，折叠画出角平分线．
B
A
O
新知探究
角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？如何证明？
B
A
O
C
D
P
●
证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB，
∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °.
∵OP是∠AOB的角平分线
∴∠COP＝∠DOP
在△COP和△DOP中，
∴ △PCO ≌△PDO(AAS).
∴PC＝PD.
新知归纳
角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的性质定理：
任意一点
新知归纳
符号语言：
O
A
B
P
C
D
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD
（角平分线上的点 到角两边的距离相等）.
●
用途：
证明线段相等.
注意：一定要表明是两条垂线段.
讨论交流
如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？
O
B
A
C
D
Q
●
证明：连接OQ．
∵QC⊥OA，QD⊥OB，
∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°．
在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中，
∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)．
∴ ∠COQ∠DOQ．
∴ 点Q在∠AOB 的平分线上．
新知归纳
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理：
角平分线是到角两边距离相等的点的集合.
新知归纳
∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB，
∴点Q在∠AOB的平分线上 .
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.
符号语言：
用途：
确定点在角平分线上，即可以判定角平分线.
O
A
B
Q
C
D
注意：一定要表明是两条垂线段.
典例分析
例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．
P
A
B
D
E
F
N
M
C
AD是∠BAC的平分线
PF＝PN
BE是∠ABC的平分线
PF＝PM
PM＝PN
点P在∠C的平分线上
典例分析
例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．
P
A
B
D
E
F
N
M
C
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分
别为F，M，N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC．
∴PF＝PN（角平分线的性质定理）.
同理PF＝PM．
∴ PM＝PN．
∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）.
归纳总结
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来.
典例分析
变式 利用网格画图：
(1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
A
B
C
●
P
典例分析
变式 利用网格画图：
(2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC.
A
B
C
●
P
●
Q
典例分析
例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
A
F
E
C
B
D
1
2
3
4
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4.
∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）.
∴点D、A在EF的垂直平分线上
（线段垂直平分线性质定理的逆定理）.
∴AD垂直平分EF.
讨论交流
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
A
B
O
C
D
E
F
P
●
M
N
解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，
垂足分别为M，N．
∵尺的宽度相等，
∴PM＝PN．
在Rt△OPM 和Rt△OPN 中，
∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)．
∴ ∠POM＝∠PON．
∴ OP平分∠AOB．
M
N
新知巩固
1．如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论.
A
B
C
D
E
F
O
●
解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上.
证明：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交
于点O．过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE，
垂足分别为F，M，N.
∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD， OM⊥AB.
∴OF＝OM.
同理OM＝ON.
∴OF＝ON.
∵OF⊥CD，ON⊥CE，
∴点O在∠ACB的平分线上.　
新知巩固
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：D是BC的中点．
A
B
C
D
E
F
证明： 连接AD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD ≌△CAD(SAS).
∴BD＝CD.
∴D是BC的中点．
新知巩固
3．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵D为∠BAC的角平分线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵D为BC的垂直平分线上一点，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE 和Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)．
∴ BE＝CF．
思维提升
如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置.
l1
l2
l3
思维提升
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段的长度相等.
判定定理
两相等：两条垂线段的长度相等;
两距离：点到角两边的距离；
一个点：角平分线上的点.
常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段.
感谢聆听！

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