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1.5 等腰三角形
第3课时 等边三角形
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质定理和判定定理．
探索并证明“含30°角的直角三角形”的性质．
能运用相关定理进行几何证明和计算，培养推理能力．
知识回顾
等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）.
问题引入
若将两个相同三角板(含30°角)拼成△ABC，它是什么特殊三角形？
B
C
A
概念引入
三边都相等的三角形叫作等边三角形．
腰
腰
底边
如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC．
等边三角形是特殊的等腰三角形．
A
B
C
新知探究
等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？
如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A.
∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
新知归纳
等边三角形的各角都等于60°．
等边三角形的性质定理：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
符号语言：
A
B
C
新知探究
等边三角形的性质与等腰三角形相比，有什么区别和联系？
等腰三角形
边
角
特殊线
对称性
轴对称图形对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
两条边相等
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条)
三个角都等于60°
轴对称图形对称轴（3条）
三条边都相等
等边三角形
讨论交流
等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？
A
B
C
三角形的三个角都相等．
讨论交流
等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？
∵∠B＝∠C，
∴ AB＝AC .
∵∠A＝∠C，
∴ AB＝BC .
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
讨论交流
等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？
有一个角是60°的等腰三角形．
A
B
C
讨论交流
等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？
若顶角是60°，则两个底角相等，也都是60°.
所以三个角都相等，△ABC是等边三角形.
若一个底角是60°，则另一个底角也是60°，
顶角也是60°. 所以三个角都相等，△ABC是
等边三角形.
A
B
C
新知归纳
三个角都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理1：
符号语言：
∵∠A＝∠B＝∠C ，
∴△ABC是等边三角形．
A
B
C
新知归纳
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
等边三角形的判定定理2：
符号语言：
∵AB＝AC ，∠A＝60°(或∠B＝60° 或∠C＝60°)
∴△ABC是等边三角形．
A
B
C
典例分析
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC．
求证：△ADE是等边三角形．
A
C
B
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的性质定理)．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE＝∠B＝60°， ∠AED＝∠C＝60°．
∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED．
∴ △ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理)．
典例分析
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线或反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
用同样的方法证明．仍然成立．
典例分析
变式2 上题中，若将条件DE∥BC改为AD＝AE， △ADE还是等边三角形吗？试说明理由．
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的性质定理)．
∵ AD＝AE，
∴ △ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理)．
A
C
B
D
E
新知探究
等边三角形有几种判定方法？与等腰三角形相比，有什么区别和联系？
等腰三角形
边
角
等边三角形
定义法：三条边都相等的三角形叫作等边三角形．
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
定义法：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
探究思考
B
C
A
问题1 用两个含30°角的三角板拼成的△ABC是等边三角形吗？
方法1：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴ △ADE是等边三角形．
方法2：∵ AB＝AC，∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
探究思考
B
C
A
问题2 在Rt△ABD中，30°角所对的直角边和斜边有什么关系？如何证明？
D
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC．
∵BD＝CD＝BC，
∴BD＝CD＝AB．
新知归纳
在直角三角形中、如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半．
A
B
C
30°
符号语言：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB．
典例分析
例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BD⊥AC，垂足为D．求证：CA＝4DA．
30°
A
B
C
D
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°．
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°．
∴∠A＋∠ABD＝90°．
∴∠ABD＝∠C＝30°．
∴CA＝2AB，AB＝2DA．
∴CA＝4DA．
思维提升
例3 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
B
C
A
M
N
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
思维提升
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
B
C
A
M
N
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM＝60°，
∴∠ECF＝60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
新知巩固
1．如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线．求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．
A
C
B
D
E
1
2
4
3
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB ＝60°，
∵BD，CE是等边三角形ABC的中线.
∴BD是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ECB＝∠ACB＝30°.
∴∠1＝∠2＝∠DBC＋∠ECB ＝ 60°.
∠3＝∠4＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.
新知巩固
2．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边的中点，写出图中所有的等边三角形，并说明理由．
A
C
B
D
E
F
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵D，E，F分别是三边的中点，
∴AD＝DB＝AB，AF＝FC＝AC，BE＝EC＝BC.
∴AD＝DB＝AF＝FC＝BE＝EC．
∴△ADF，△DBE，△FEC是等边三角形．
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形．
课堂小结
等边三角形
定义
三条边相等
性质
三角都等于60°
轴对称图形（3条对称轴）
判定
三边相等
三角相等
一内角60°的等腰三角形
含30°直角三角形
30°所对直角边＝斜边
感谢聆听！

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