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2.1 平方根
第2课时 平方根
第二章 实数
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，发展抽象能力．
了解平方与开平方是互逆的运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，发展运算能力．
问题引入
如果 x2＝4 ，那么x是多少？
∵ 22＝4， (－2)2＝4，
∴ x是2或－2．
x2＝,
∵ ＝， ＝，
∴ x是或－．
x2＝0.04，
使x2＝a(a＞0)成立的数x有几个？它们之间有什么关系？
有两个，它们互为相反数.
a＝0呢？a＜0呢？
概念引入
一般地，如果x ＝a(a≥0)，那么x叫作a的平方根(square root)，也称为二次方根.
例如，2和－2是4的平方根.
算术平方根
如果x2＝a，
那么(－x)2＝x2＝a，
所以x和－x都满足x ＝a．
归纳总结
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳总结
如果a为正数，那么a有两个平方根±，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是－．
例如，9的平方根是3与－3，可以简记为±3，其中3是9的算术平方根.
新知巩固
判断下列说法是否正确：
①－5是25的平方根 （ ）
②25的平方根是－5 （ ）
③只有正数有平方根 （ ）
④(－3)2的平方根是－3 （ ）
⑤3平方的平方根是3 （ ）
⑥－a没有平方根 （ ）
√
×
×
×
×
×
平方根 算术平方根
区 别
联系 讨论交流
平方根与算术平方根有什么区别与联系？
关 系
名 称
定义不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根．
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法不同
±
取值范围不同
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根是一定是正数
具有包含关系
平方根包含算术平方根
存在条件相同
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0
典例分析
例1 求下列各数的平方根：
(1) 100； (2)625； (3) 0.0081； (4) 2 .
解：(1) ∵102＝100，∴100的平方根±＝±10；
(2) ∵625，∴625的平方根±＝±25；
(3) ∵0.092 0.0081，∴ 0.0081的平方根±＝±0.09；
万物皆数，所有数字都可以表示为整数或整数的比.
(4) 2的平方根是±.
新知巩固
1．求下列各数的平方根：
0.01，， 0，10， ．
解： ∵0.12＝0.01，∴0.01的平方根±＝±0.1；
∵，∴的平方根±＝±；
∵，∴的平方根±＝±．
0的平方根是0；
10的平方根是±；
新知巩固
2．求下列各数的平方根：
169，225，， 11，0.16，，1.44 ．
解： ∵132＝169，∴169的平方根±＝±13；
∵152＝225，∴225的平方根±＝±15；
∵，∴的平方根±＝±；
11的平方根是±；
新知巩固
2．求下列各数的平方根：
169，225，， 11，0.16，，1.44 ．
解： ∵0.42＝0.16，∴0.16的平方根±＝±0.4；
∵，∴的平方根±＝±；
∵1.22＝1.44，∴1.44的平方根±＝±1.2 ．
新知巩固
3．求下列各式中的x：
(1) x2＝49； (2) x2＝； (3) x2＝21； (4) 4x2＝81.
解：(1) x＝±，
x＝±7；
(2) x＝±，
x＝±；
(3) x＝±；
(4) x2＝，
x＝±，
x＝±．
概念讲解
求一个数的平方根的运算叫作开平方 (extraction of square root).
开平方与平方有下面的关系，如图所示.
±x
x2
平方
开平方
10
100
－10
概念讲解
±x
x2
平方
开平方
25
625
－25
0.3
0.09
－0.3
0
0
新知巩固
如图，填空：
±x
x2
平方
开平方
＋7
－7
49
－14
196
＋14
＋
－
(1) 如图(1)，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上，据图比较与的大小．
讨论交流
解：(1) 如图，＞．
(1)
解：如图，＞．
讨论交流
(2)已知a＞b＞0，类似地，根据图2比较与的大小．
(2)
正方形面积与边长的关系：
面积越大，边长(即平方根)越大．
新知巩固
圆的面积扩大为原来的3倍，半径扩大为原来的多少倍
解：设原半径为r，扩大后的半径为r'．
由圆的面积公式得：π(r')2＝3πr2，
化简得：(r')2＝3r2 ，
解得： r'＝r．
答：半径扩大为原来的倍．
思维提升
例2 一个正数的两个平方根为2x－1与5x－13，求x的值和这个数.
解：根据题意得：(2x－1)＋(5x－13)＝0
2x－1＋5x－13 ＝0
2x＋5x＝1＋13
7x＝14
x＝2
∵ 当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝4－1＝3，∴ 32＝9.
或 ∵ 当x＝－2时， 5x－13＝5×2－13＝10－13＝－3，∴ (－3)2＝9.
答：x的值为2，这个数为9.
课堂小结
平方根
定义
如果x ＝a(a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根．
性质
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
0的平方根是0．
负数没有平方根．
运算
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
感谢聆听！

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