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2.1 平方根
第1课时 算术平方根
第二章 实数
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，发展抽象能力．
会正确地求出一个非负数的算术平方根，理解算术平方根的非负性．掌握算术平方根的两个性质．
问题提出
如图，一张边长为2cm的正方形纸片，取四条边的中点A，B，C，D，将纸片的四个角分别沿着AB，BC，CD，DA对折，得到一个小正方形ABCD.
①正方形ABCD的面积是多少？
2 cm2
问题提出
如图，一张边长为2cm的正方形纸片，取四条边的中点A，B，C，D，将纸片的四个角分别沿着AB，BC，CD，DA对折，得到一个小正方形ABCD.
②设正方形ABCD的边长为x cm，
列出关于x的方程.
x2＝2
如何解这个方程？
知识框架
乘方
开方
开平方
平方根
开立方
立方根
非负的
平方根
算术平方根
互逆
问题情境
若正方形面积为a，边长是多少？

a
下表中列举了一些a的值，请写出边长x对应的值：
面积a 1 2 3 4 …
边长x …
1
2
边长是整数吗？是分数吗？


x2＝a
知识窗
万物皆数，所有数字都可以表示为整数或整数的比.
x2＝2
第一次数学危机
概念引入
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根 (arithmetic square root)．
2的算术平方根记作，3的算术平方根记作．
a的算术平方根记为，读作“根号a”.
如果x2＝2(x＞0)，那么x叫作2的算术平方根，即x＝．
知识窗
勒内·笛卡尔
（法国数学家）
“”是由法国数学家笛卡尔首创的，增加了横线和小钩，这个符号既有结合符号的意思，又有运算符号的意思．
运算范围
结果输出
概念引入
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根 (arithmetic square root)．
a＞0
规定：0的算术平方根是0，即＝0．
(1)只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根；
＞0
(2)具有双重非负性：a≥0，≥0．
表示的意义具有双重性，既可表示运算，即求a的算术平方根．
也可表示运算结果．即a的算术平方根．
典例分析
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.09； (4) 104 .
解：(1) ∵102＝100，∴100的算术平方根＝10；
(2) ∵ ，∴ 的算术平方根＝；
(3) ∵0.320.09，∴ 0.09的算术平方根＝0.3；
万物皆数，所有数字都可以表示为整数或整数的比.
(4) ∵，∴ 的算术平方根.
新知巩固
1．求下列各数的算术平方根：
解：∵ 92＝81，∴81的算术平方根＝9；
0的算术平方根＝0；
∵ ＝，∴ 2的算术平方根＝；
81， 0，2 ，106，0.81 ．
∵，∴ 的算术平方根；
∵ 0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根＝0.9．
新知巩固
2．求下列各数的算术平方根：
解：∵42＝16，∴16的算术平方根＝4；
16， ，10， ．
∵，∴ 的算术平方根＝；
10的算术平方根；
∵，∴ 的算术平方根＝．
新知巩固
3．填空：
(1) 4的算术平方根是_____，
9
2
3是_____的算术平方根；
(2) 算术平方根都等于它本身的数是_________；
0、1
(3) 表示__________________，它的值为_____ ；
625的算术平方根
25
(4) 81的算术平方根是____， 的算术平方根是_____.
9
3
典例分析
例2 已知y＝3，求xy的值.
解：由题意，得
化简，得
∴ x＝5.
∴ y＝3＝3，
∴ xy＝53＝125.
典例分析
变式 已知x、y、z满足＋(y－2)2＋|z＋3|＝0，求(x－y＋z)2025的值．
解：∵ ＋(y－2)2＋|z＋3|＝0，
∴ x－4＝0，y－2＝0，z＋3＝0.
∴ x＝4，y＝2，z＝－3.
∴ (x－y＋z)2025＝(4－2－3)2025＝(－1)2025＝－1.
归纳总结
常见非负数的“三种类型”：
(1)一个数的偶次方，例如a2，a4，a6等；
(2)一个数的绝对值，例如|a|，|x＋2|等；
(3)一个非负数的算术平方根，例如(a≥0)，(x≥3)等．
非负数的性质：若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0．
例如：
a＝0 b＝0 c＝0．
根据算术平方根的定义，，分别等于多少？
讨论交流
有意义吗？
解：根据算术平方根的定义，得，.
没有意义.
你有什么猜想？你能说明理由吗？
猜想：()2a(a≥0)．
理由如下：根据算术平方根的定义，如果x2＝a (a≥0)，那么
x＝(a≥0)，把x＝代入得，()2＝a (a≥0).
讨论交流
根据算术平方根的定义，，，的值分别是多少？
解：根据算术平方根的定义，得，.
归纳：＝＝ a (a≥0)
＝＝－a (a≤0)
归纳总结
一般形式：
()2＝a（ a ≥0）
＝＝ a(a≥0)
＝＝－a(a≤0)
算术平方根的两个性质：
新知巩固
填空：
（1）________； （2）________；
（3）________； （４）________．
9
5
5
课堂小结
算术平方根
定义
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根．
双重非负性：
性质：
a≥0，≥0
()2＝a（ a ≥0）
＝
感谢聆听！

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