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2.2 立方根
第二章 实数
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
了解立方根的定义，会用根号表示一个数的立方根，能说出平方根与立方根的区别与联系.
知道开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方根，体会立方根的唯一性.
能用立方根解决一些简单的实际问题.
问题引入
已知某种植物细胞的形状可以近似地看作棱长为1的正方体，当这样的一个细胞体积增大1倍时，它的“棱长”是多少？
棱长3＝体积
1
13＝
2
x3＝
x＝？
类比平方根的定义，说说你的猜想？
概念引入
一般地，如果x3＝a，那么x叫作a的立方根(cube root)，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”．
例如，(－3)3＝－27，－3是－27的立方根，即＝－3；
又如，x3＝2，x是2的立方根，即x＝．
概念讲解
求一个数的立方根的运算叫作开立方 (extraction of cubic root).
开立方与立方互为逆运算.
可以通过立方运算来求一个数的立方根．
检验x是不是a的立方根，只要看x3是不是等于a即可.
试一试
在下图中填空：
x
x3
立方
开立方
＋1
－1
27
－1
－8
＋2
1
8
－2
－27
3
－3
开平方和开立方有什么不同
归纳总结
立方根与平方根的区别与联系．
平方根 立方根
区 别
联系 关 系
名 称
概念不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根．
如果 x3＝a ，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根
表示方法不同
±
被开方数的取值范围不同
被开方数是非负数，即 a≥0
被开方数是任意数
运算关系
开方运算与相应的乘方运算互为逆运算
转化条件
都可以转化为非负数的非负方根来研究
0
0的平方根和立方根都是0
典例分析
例1 下列各数有立方根吗？如果有，求出它们的立方根．
(1) 64； (2)－； (3) 0.027； (4) 9； (5) 0．
解：5个数都有立方根．
(1) ∵ 43＝64， ∴ 64的立方根是＝4；
(2)∵ ＝－，∴－的立方根是 ＝－；
(3) ∵ 0.33＝0.027， ∴ 0.027的立方根是＝0.3；
(4) 9的立方根是；
(5) 0的立方根是0．
新知巩固
1．求下列各数的立方根：
－8，0.001，，－1000，4.
解： ∵ ＝－8， ∴ －8的立方根是＝－2；
∵ ＝0.001， ∴ 0.001的立方根是＝0.1；
∵ ，∴的立方根＝；
∵ ＝－1000， ∴ －1000的立方根是＝－10；
4的立方根是.
新知巩固
2．求下列各数的立方根：
－0.027，－，0.125，1，1331.
解： ∵ ＝－0.027， ∴ －0.027的立方根是＝－0.3；
∵ ，∴的立方根＝；
∵ ＝0.125， ∴ 0.125的立方根是＝0.5；
∵ ＝1， ∴ 1的立方根是＝1；
∵ ＝1331， ∴ 1331的立方根是＝11.
新知巩固
3．求下列各式中的x：
(1) x3＝－0.064； (2) 8x3＝125； (3) x3＋4＝3； (4) (x－1)3＝27.
解：(1) x＝，
x＝－0.4；
(2) x3＝，
∵x＝，
∴x＝；
(3) x3＝－1，
∵x＝，
∴x＝－1；
(4) ∵ x－1＝，
∴ x－1＝3，
x＝4.
归纳总结
正数的立方根是正数；
0的立方根是0；
负数的立方根是负数.
立方根的性质：
讨论交流
根据立方根的定义，，等于多少？
解：根据立方根的定义，得，．
你有什么猜想？你能说明理由吗？
猜想：a．
理由如下：根据立方根的定义，如果x3＝a ，那么x＝，
把x＝代入得，＝a .
新知巩固
填空：
(1) ＝_______；＝_______；
(2) ＝_______；＝_________；
(3) ＝_________；＝_______.
－4
－4
－7
－7
观察上面各式，你有什么发现？
归纳总结
立方根中三个重要的关系式：
＝a
()3＝a
＝
典例分析
例2 有一个球形容器，它的容积为36π m ，求这个球形容器的半径(壁厚忽略不计).
解：设球的半径为rm．
由题意，得：πr3＝36π，
解得： r＝3(m)．
答：这个球形容器的半径为3m．
新知巩固
1．两个球形探空气球的体积分别约为5 120 m3和80 m3，试计算它们的半径比（球的体积公式：V球=R3，R为球的半径).
解：由球的体积公式可知：
新知巩固
2．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的多少倍？
解：设原棱长为a，扩大后的棱长为a'．
由正方体的体积公式得：(a')3＝64a3，
解得： a'＝4a．
答：棱长扩大到原来的4倍．
思维提升
例3 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b＋1的立方根是3.
(1)求a，b的值；
(2)求a＋b的算术平方根.
(2)由(1)可得a＋b＝16，
∴a＋b的算术平方根为4.
解：(1)由题意得，
解得，
课堂小结
立方根
定义
如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．
性质
正数的立方根是正数．
0的立方根是0．
负数的立方根是负数．
运算
求一个数的立方根的运算叫作开立方.
三个重要的关系式
＝a；()3＝a；＝．
感谢聆听！

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