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2.3 实数
第1课时 无理数
第二章 实数
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
理解无理数的定义，能够判断一个数是否为无理数．
能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算意识．
问题引入
有理数包括哪些数？
有理数
都可以表示为分数形式吗？
整数可以看作是分母为 1 的分数．
正整数
零
负整数
整数
正分数
负分数
分数
都可以表示为小数形式吗？
都可以表示为小数形式吗？
问题引入
有理数包括哪些数？
都能写成有限小数或无限循环小数．整数可以看作是小数部分为零的有限小数．
问题引入
是不是所有的数都可以像有理数这样写成有限小数或者循环小数呢？
人类已将π的值算到小数点后62.8万亿位!
概念引入
无限不循环小数叫作无理数(irrational number)．
因为分数都可以转化为有限小数或循环小数，所以无理数不能写成分数形式 （m，n是整数）.
无理数的两个关键特征
概念讲解
、
无理数
正无理数
负无理数
－、
－等
π等
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
有理数．能化成分数形式．
无理数．不能化成分数形式．
探索交流
由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数点后的所有数字，但我们可以用有理数来确定一个无理数的范围，
如：3.14＜π＜3.15
也是无理数，如何估计的范围呢？
探索交流
∴ 1＜＜2．
∵ 12＝1＜2＜4＝22
∴ 1.4＜＜1.5．
∵ 1.42＝1.96＜2＜2.25＝1.52
∴ 1.41＜＜1.42．
∵ 1.412＝1.9881＜2＜2.0164＝1.422
∴ 1.414＜＜1.415．
∵ 1.4142＝1.999396＜2＜2.002225＝1.4152
如此下去，我们可以越来越精确地得到的范围.
典例分析
例 判断下面哪个无理数大于4，并且小于5:
， ， ．
解：这三个数中， 大于4且小于5．理由如下：
∵()2＝15，而15＜16，∴＜，即＜4；
∵()2＝17，而16＜17＜25，∴＜＜，即4＜＜5；
∵()2＝26，而26＞25，∴＞，即＞5．
平方比较法
新知巩固
1．判断下列哪个无理数大于－2且小于－1：
－π， － ．
解：∵－π＜－3＜－2，－2＜－ ＜－1．
∴这二个数中， － 大于－2且小于－1．
新知巩固
2．判断下列哪个无理数大于3且小于4：
， ．
解：这二个数中， 大于3且小于4．理由如下：
∵()2＝7，而7＜9，∴＜，即＜3；
∵()2＝10，而9＜10＜16，∴＜＜，即3＜＜4．
讨论交流
π－3，＋1是否为无理数？为什么？
解：π－3，＋1均是无理数．
假设π－3是有理数，则π－3能写成分数 (m，n是整数)，
∴π＝π－3＋3＝＋3＝ ，
∵m，n是整数，
∴是有理数，即π是有理数，这与π是无理数矛盾．
∴假设不成立，π－3是无理数．
讨论交流
π－3，＋1是否为无理数？为什么？
假设＋1是有理数，则＋1能写成分数 (p，q是整数)，
∴＝＋1－1＝－1＝ ，
∵p，q是整数，
∴是有理数，即是有理数，这与是无理数矛盾．
∴假设不成立，＋1是无理数．
新知巩固
判断下列说法是否正确，如果不正确，请举例说明．
(1)两个有理数的和一定是有理数；
(2)两个无理数的和一定是无理数；
(3)一个有理数与一个无理数的积一定是无理数．
解：(1)正确．
(2)错误，例如＋(－)＝0是有理数．
(3)错误，例如0×π＝0是有理数．
课堂小结
无理数
定义
无限不循环小数叫作无理数．
正无理数
负无理数
用有理数估计无理数范围
平方比较法
无理数的判断
分类
感谢聆听！

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