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3.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的发现
第三章 勾股定理
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
2
3
经历探求勾股定理的过程，发展几何直观，体会数形结合的思想．
能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长．
能够利用勾股定理表示无理数（a为正整数）．
1
问题引入
直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：
一个角为直角，另外两个锐角互余．那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16

用“补”的方法
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16

S正方形AEDB＝7×7－4×S△ABC
＝49－4××3×4
＝25．
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
用“割”的方法
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
S正方形AEDB＝4×S△APB＋1×1
＝4××3×4＋1
＝25．
P
探索思考
如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？
B
A
C
D
E
I
F
G
H
9
16
25
S正方形AEDB＝S正方形BHIC＋S正方形ACFG
AB2
BC2
AC2
＝
＋
即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方.
讨论交流
在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流．
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
C
A
B
勾股定理
为什么叫“勾股”定理呢？
知识链接
有一天周公（周文王的儿子）遇到商高（当时的数学家），问到：
周公问数
　我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去丈量，怎样才能得到关于天地的数据呢？
周公(公元前1123年―前1032年)
知识链接
　数学的方法是从研究圆形和方形开始的．圆形可以由方形来推导，方形可以由直角三角形来推导，而直角三角形的原理又来自于基本的乘法表，也就是九九八十一．
商高(约公元前1100年)
知识链接
　如果我们有一个圆，它的直径是1，那么它的周长大约是3．如果我们有一个正方形，它的边长是1，那么它的周长是4．现在，如果我们有一个直角三角形，它的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边（最长的那条边）就是5．这就是我们说的
“勾三股四弦五.”．
商高(约公元前1100年)
知识链接
股修四
股方之矩
勾广三
勾方之矩
径
隅
五
荣方：“矩何以测天？”
陈子：“勾股各自乘，开方除之得弦．此矩道之极也．”
勾的平方＋股的平方＝弦的平方
周髀算经
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
C
A
B
勾股定理
又叫商高定理
勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数.
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
C
A
B
a
b
c
符号语言：
则 a2＋b2＝c2.
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，
新知归纳
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
C
A
B
a
b
c
勾股定理只适用于直角三角形，其揭示的是直角三角形三边长之间的平方关系．
典例分析
例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长．
5
12
c
(1)
解：(1)根据勾股定理，得
122＋5 ＝c2，
即 c2＝169．
所以 c＝＝13．
典例分析
5
b
2
(2)
解：(2)根据勾股定理，得
22＋b ＝52，
即 b2＝21．
所以 b＝．
例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长．
典例分析
例2 如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为411.5m．求梯子顶端距地面的高度h．
解：根据勾股定理，得
1.52＋h ＝2.52，
即 h2＝4．
所以 h＝2．
答：梯子顶端距地面的高度为2m．
新知巩固
1. 求下列直角三角形中未知边的长．
5
x
13
8
15
x
x
12
15
x＝12
x＝17
x＝9
新知巩固
2. 求图中x，y的值．
81
100
x
(1)
解：(1)根据勾股定理，得
x2＝81＋100，
即 x2＝181．
所以 x＝．
y
144
169
(2)
新知巩固
2. 求图中x，y的值．
解：(2)根据勾股定理，得
144＋y ＝169，
即 y2＝25．
所以 y＝5．
新知巩固
3 求图中x的值．
4
4
x
(1)
解：(1)根据勾股定理，得
x2＝42＋4 ，
即 x2＝32．
所以 x＝．
新知巩固
3 求图中x的值．
8
4
x
(2)
解：(2)根据勾股定理，得
82＝x2＋(4) ，
即 x2＝64－48．
所以 x＝4．
典例分析
例3 在数轴上画出对应的点．
0
1
-1
2
3
-2
解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形．
由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径
画弧，与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点．
P
新知巩固
1. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹)
0
1
-1
2
3
解：如图所示：
新知巩固
解：如图所示：
-4
-3
-5
-2
-1
0
1
2. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹)
新知巩固
3. 如图，设每个小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度分别为，，的线段.
解：如图所示．
请你欣赏
请你欣赏
课堂小结
勾股定理的发现
内容
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
商高，毕达哥拉斯定理
应用
求直角三角的边长
在数轴上表示无理数（a为正整数）
感谢聆听！

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