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3.2 勾股定理的逆定理
第三章 勾股定理
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
2
3
经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力.
能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识．
了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数．
1
问题引入
四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？
新知探究
逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的内容是什么？你能说出它的逆命题并判断真假吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
新知探究
逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件
结论
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
2. 直角三角形的判定方法有哪些？
3. 如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？
有一个角是直角．
构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等．
新知探究
已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2．
求证：△ ABC是直角三角形．
A
b
a
C
B
c
证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，
B′C′＝a， A′C′＝b．
根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2.
∟
A′
b
a
C′
B′
因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB
根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．
新知归纳
C
A
B
a
b
c
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
符号语言：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长
分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
典例分析
例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．
最长边
证明：是直角三角形，
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
讨论归纳
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？
找：确定三角形的最长边；
算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
新知巩固
(1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15．
1. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角．
解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289，
∴ a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
(2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225，
∴ a2＋b2≠c2，
∴ △ABC不是直角三角形．
新知巩固
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) a:b:c=3:4:5．
解：(1) 在△ABC中，∵∠A＝25°，∠C＝65°，
∴ ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－65°＝90°．
∴△ABC是直角三角形.
(2)设a＝3k、b＝4k、c＝5k (k＞0 )，
∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.
2. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形．
讨论归纳
判断一个三角形是否是直角三角形有哪些方法？
用角判定：
1．两个锐角互余的三角形是直角三角形；
2．有一个角是90°的三角形是直角三角形．
用边判定：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断．
新知应用
你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？
3份
4份
5份
如图，∵32＋42＝52，
∴这个三角形为直角三角形．
新知归纳
如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数．
勾股数必须同时满足两个条件：
1．三个数都是正整数；
2．两个较小数的平方和等于最大数的平方．
写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律．
典例分析
例2 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2．
求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数．
证明：∵a2＋b2＝c2，
∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2
＝k2(a2＋b2)
＝k2c2＝(kc)2．
∵a，b，c，k为正整数，
∴ka，kb，kc为正整数.
∴ka，kb，kc构成勾股数.
新知巩固
1.下列各组数是勾股数吗？为什么？
(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．
解：(1) ∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324，
∴ 122＋152≠182．
∴ 12，15，18不是勾股数．
(2) ∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721，
∴ 112＋602＝612．
∴ 11，60，61是勾股数．
新知巩固
1.下列各组数是勾股数吗？为什么？
(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．
解：(3) ∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521，
∴ 152＋362＝392．
∴ 15，36，39是勾股数．
(4) ∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269，
∴ 122＋352≠362．
∴ 36，35，12不是勾股数．
新知巩固
2. 已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？
(1)以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形；
证明：(1)说法正确．
假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2，
∵(2a)2＋(2b)2＝4a2＋4b2＝4(a2＋b2)＝4c2＝(2c)2．
∴以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形.
新知巩固
2. 已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？
(2)以长分别为，，的三条线段能组成一个直角三角形．
证明：(2)说法不正确．
假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2，
∵()2＋()2＝a＋b，()2＝c．
由三角形三边关系得a＋b＞c，
∴()2＋()2＞()2，
∴以长分别为，，的三条线段不能组成一个直角三角形.
典例分析
例3 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20．
求AC的长．
A
B
C
D
A
B
D
解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20，
∴BD＝DC＝BC＝10．
∵AD＝24，AB＝26，
∴AD2＋BD2＝242＋102＝676，
AB2＝262＝676．
∴AD2＋BD2＝AB2．
∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)．
∴AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26 ．
新知巩固
1. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60. 求这个三角形的面积.
解：设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
由题意，得3x＋4x＋5x＝60，
解得x＝5．
∴三边长分别为15，20，25．
∵152＋202＝252，
∴这个三角形是直角三角形．
∴S＝×15×20＝150．
新知巩固
2. 计算图中四边形ABCD的面积．
∟
C
A
B
D
12
16
15
25
解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
BD2＝122＋162＝400，
∴BD＝20.
∵CD＝15，BC＝25，
∴CD2＋BD2＝152＋202＝625，
BC2＝252＝625．
∴CD2＋BD2＝BC2．
∴∠BDC＝90°(勾股定理的逆定理)．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC
＝×12×16＋×15×20＝246．
新知巩固
3. 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由.
C
A
B
D
∟
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5.
在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20.
∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25.
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.
1
2
4
思维提升
观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b＝________，c＝________；
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值；
180
181
解：(2)通过观察知c－b＝1，
∵(2n＋1)2＋b2＝c2，
∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，
∴b＋c＝(2n＋1)2.
又∵c＝b＋1，
∴2b＋1＝(2n＋1)2，
∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1.
思维提升
(3) 用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
解：不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1
为一组勾股数．
当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
讨论归纳
勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C＝90°
a2＋b2＝c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2＋b2＝c2
∠C＝90°
数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股数
如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，
则称a，b，c为勾股数．
应用
判定三角形是否为直角三角形．
勾股定理及其逆定理的综合应用．
感谢聆听！

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