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3.3 勾股定理的简单应用
第2课时
第三章 勾股定理
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
2
能运用勾股定理及其逆定理进行代数推理，理解如何用代数方法证明几何结论．
能运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算．
1
问题引入
在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
A
典例分析
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
条件
结论
2. 依据命题条件,怎么画出能体现这些条件的图形？
①
②
③
A
l
∟
Q
Q
P
3. 当Q移动时，△PAQ始终是什么三角形？
4. 在直角三角形中，三边满足什么关系？
怎样比较两边的长短？
典例分析
例1 证明：
直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短．
证明：∵PA⊥l，
∴△APQ为直角三角形.
根据勾股定理，得
PQ2＝PA2＋AQ ．
∵AQ＞0，
∴PQ2＝PA2＋AQ ＞PA2．
∴PA＜PQ．
已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点．
求证：PA＜PQ．
A
l
∟
Q
P
典例分析
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
分析：1. h，m，n在哪些直角三角形中？
三边满足什么关系？
2. AC，BC又在哪个三角形中？之间有什么关系？
证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC2＝h2＋m2．
在Rt△DBC中，根据勾股定理，得
BC ＝h2＋n2．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB ．
∵AB＝m＋n，
∴h2＋m2＋h2＋n2＝(m＋n) .
2h2＋m2＋n2＝m2＋n2＋2mn.
∴h2＝mn.
典例分析
例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn.
∟
C
A
B
D
∟
h
m
n
探究思考
如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值．
a1
1
1
1
1
1
1
a2
a3
a4
a5
0
A
－1
C
D
B
A5
A4
A3
A2
A1
E
解：如图所示，在数
轴上的点E表示．
由图中的规律可知，
a99＝＝10．
新知巩固
1. 长度分别为，，的三条线段能构成一个三角形吗？
如果可以，判断这个三角形的形状．
解：∵≈1.73，≈2.24，≈2.83，
∴＋＞，
∴ 这三条线段能构成一个三角形.
∵()2＋()2＝3＋5＝8，()2＝8，
∴()2＋()2＝()2，
∴这个三角形是直角三角形．
根据边长如何
判断三角形形状？
勾股定理的逆定理
解：如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AB＝a，BD＝BC＝a，
由等腰三角形三线合一得AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＝AB －BD2＝a －2＝a ，
∴AD＝．
新知巩固
2. 求边长为a的等边三角形的一条中线的长．
C
A
B
D
新知巩固
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边作正方形ABDE，与△ABC位于AB的同侧，图中阴影部分的面积是多少？
C
A
B
D
E
∟
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC ＋BC2＝2 ＋42＝20，
∴S正方形ABDE＝AB2＝20，
S△ABC＝×AC×BC＝×2×4＝4，
∴S阴影＝S正方形ABDE－S△ABC＝20－4＝16．
求出平方即可.
思维提升
例3 如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
解：由图形可得以AB，BC为直径的两个半圆的面积之和
等于以AC为直径的半圆的面积．理由如下：
设以 BC，AB，AC为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3．
则S1＋S2＝π＋π＝BC2＋AB2＝(BC2＋AB2)，
S3＝π＝AC2．
∵ BC2＋AB2 ＝AC2 ，
∴ S1＋S2＝S3．
知识链接
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3＝S1＋S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
课堂小结
勾股定理的简单应用
勾股定理
解决实际问题
用代数方法证明几何结论
勾股定理的逆定理
判断是否是直角三角形
感谢聆听！

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