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3.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的证明
第三章 勾股定理
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
2
理解“赵爽弦图”证明的基本原理，会通过面积相等证明勾股定理．
探索勾股定理的不同证明方法，体会数形结合的思想．
1
知识回顾
C
A
B
a
b
c
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
符号语言：
则 a2＋b2＝c2.
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，
问题引入
勾股定理是数学中一个重要的定理．古今中外的数学家都喜欢研究它．他们是如何证明这个定理的呢？
新知探究
赵爽，东汉末至三国时代的吴国人，是中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家.
赵爽弦图
新知探究
讨论交流
“赵爽弦图”证明的基本思路是什么？
利用“面积相等”证明．
操作思考
根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形．你能用这个图形证明勾股定理吗？
b
c
a
b
c
a
C
A
B
D
证明：∵S正方形ABCD＝c2，
S正方形ABCD＝4×ab＋(b－a)2，
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
∴a2＋b2＝c2．
尝试交流
1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
证明：∵S大正方形＝(a＋b)2，
S大正方形＝4×ab＋c2，
∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2
a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2
∴ a2＋b2＝c2．
尝试交流
2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理.
b
c
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b
a
b
a
b
c
a
b
a
∟
∟
∟
c
尝试交流
2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理.
b
c
a
b
a
∟
∟
∟
c
证明：∵S梯形＝(a＋b)2，
S梯形＝ab＋ ab＋c2，
∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2
a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2
∴ a ＋b ＝c .
“总统”证法
知识链接
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法．
加菲尔德总统证法
探索交流
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
(1)
(2)
观察两个图形有什么相同点和不同点？
同一个图形, 不同的分割方法.
利用下面图形，证明勾股定理．
探索交流
利用下面图形，证明勾股定理．
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
证明：由图(1)得，
S大正方形＝4×ab＋a ＋b ，
由图(2)得，
S大正方形＝4×ab＋c2，
∴4×ab＋a ＋b ＝4×ab＋c2，
∴ a ＋b ＝c .
(1)
(2)
新知巩固
图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形．
试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理．
这个图形有几种不同的分割方法？
新知巩固
图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形．
试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理．
A
B
C
D
E
F
G
证明：如图，
∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG＋S梯形DEFG
＝b[(b＋(a＋b)]＋a[(a＋(a＋b)]
＝b2＋ ab＋a2＋ab
＝a2＋b2 ＋ab，
S多边形ABEFG＝S正方形ACFG+2S直角三角形ABC
＝c2 ＋ab，
∴a2＋b2 ＋ab＝c2 ＋ab．
即a2＋b2＝c2．
思维提升
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，
求证：a2＋b2＝c2.
证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝EC=b－a.
∵ S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴ b2＋ab＝c2＋a(b－a).
∴ a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
其中∠DAB＝90°.
求证：a2＋b2＝c2.
思维提升
证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，则BF＝b－a.
∵ S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，
S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴ ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a).
∴ a2＋b2＝c2.
F
课堂小结
勾股定理的证明
利用面积相等证明
赵爽弦图
图形不同的切割(或拼接)方法计算面积
感谢聆听！

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