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第2讲　匀变速直线运动的规律及其应用
【目标任务】
1.理解匀变速直线运动的特点，掌握匀变速直线运动的公式，并理解公式中各物理量的含义。2.会灵活应用运动学公式及推论解题。3.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。4.能灵活处理多过程问题。
【知识特训】
知识必记
一、匀变速直线运动的基本规律
1.概念：沿一条直线且　　　　不变的运动。
2.分类
(1)匀加速直线运动：a与v方向　　　。
(2)匀减速直线运动：a与v方向　　　。
3.基本规律
二、匀变速直线运动的重要关系式
1.两个导出式
2.三个重要推论
(1)位移差公式：Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=　　　　，即任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量。可以推广到xm-xn=　　　　。
(2)平均速度==，即物体在一段时间内的平均速度等于这段时间　　　　的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的　　　　。
(3)位移中点的速度=。
3.初速度为零的匀加速直线运动的四个常用推论
(1)1T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=　　　　。
(2)1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=　　　　。
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=　　　　。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=　　　　。
三、自由落体运动和竖直上抛运动
自由落 体运动 运动 条件 物体只受　　　　作用， 由　　　　开始下落
运动 性质 初速度为零的　　　　直线运动
运动 规律 速度公式：　　　 位移公式：　　　 速度—位移公式：　　
竖直上抛运动 运动 规律 速度公式：v=　　　 位移公式：h=　　　 速度—位移关系式：v2-=　　　 上升的最大高度：H= 上升到最高点所用时间：t=
基础必验
1.思考判断
(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动。 (　　)
(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。 (　　)
(3)物体在某高度由静止下落，一定做自由落体运动。 (　　)
(4)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度的变化量的方向是竖直向下的。 (　　)
(5)亚里士多德认为物体越重下落越快。 (　　)
(6)伽利略从理论和实验两个角度证明了轻、重物体下落一样快。 (　　)
2.[匀变速直线运动的规律](2024·江西卷)一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x=1+2t+3t2(x的单位是m，t的单位是s)。关于速度及该质点在第1 s内的位移，下列选项正确的是 (　　)
A.速度是对物体位置变化快慢的描述，6 m
B.速度是对物体位移变化快慢的描述，6 m
C.速度是对物体位置变化快慢的描述，5 m
D.速度是对物体位移变化快慢的描述，5 m
3.[自由落体运动]2019年，我国运动员获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，她在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为 (　　)
A.0.2 s B.0.4 s
C.1.0 s D.1.4 s
【能力特训】
特训点一　匀变速直线运动的规律与常用的解题方法(逐点突破类)
　　解答匀变速直线运动问题常用的方法有六种：基本公式法、平均速度法、推论法、比例法、逆向思维法、图像法。不同的题目，采用的求解方法也会不相同，用不同方法解决同一问题，解题效率也会有区别，要注意领会和把握。
1.[基本公式法](2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA.+
B.+
C.+
D.+
基本公式法利用v=v0+at、x=v0t+at2、v2-=2ax求解匀变速直线运动问题，需要注意这三个公式均为矢量式，使用时要注意方向性。
2.[平均速度法](多选)如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动，依次经过A、B、C三棵树。已知AB=BC=12 m，且汽车经过AB和BC两段所用的时间分别为4 s和2 s。下列说法正确的是 (　　)
A.汽车在经过树A后3 s末的速度大小为4 m/s
B.汽车的加速度大小为1 m/s2
C.汽车经过树A的速度大小为2 m/s
D.汽车经过树C的速度大小为7 m/s
平均速度法利用=和==求解匀变速直线运动问题，=也常用于处理纸带类问题。
3.[推论法]如图所示，物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中xAB=2 m，xBC=3 m。若物体通过AB和BC这两段位移所用的时间相等，则O、A两点之间的距离等于 (　　)
A. m . m C. m D. m
推论法利用Δx=aT2或xm-xn=(m-n)aT2求解匀变速直线运动问题，在此类问题中，利用推论法求加速度往往是问题的突破口。
4.[比例法](2024·山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1 ；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为 (　　)
A.(-1)∶(-1)
B.(-)∶(-1)
C.(+1)∶(+1)
D.(+)∶(+1)
比例法适用于初速度为零的匀加速直线运动和末速度为零的匀减速直线运动，常用的比例式有：
①1T末，2T末，3T末，…，nT末的速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n
②1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2
③第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
④从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
5.[逆向思维法]一辆汽车在平直公路上匀速行驶，突然遇到紧急情况，立即刹车。从开始刹车起汽车在运动过程中的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系式为x=30t-2.5t2，下列分析正确的是 (　　)
A.刹车过程中最后1 s内的位移大小是5 m
B.刹车过程中在相邻1 s内的位移差的绝对值为10 m
C.从刹车开始计时，8 s内通过的位移大小为80 m
D.从刹车开始计时，第1 s内和第2 s内的位移大小之比为11∶9
(1)逆向思维法把末速度为零的匀减速直线运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
(2)在利用逆向思维法求解问题时，结合比例法求解往往会使问题简化。
6.[图像法](多选)如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度亦为v。若a1≠a2≠a3，则 (　　)
A.甲、乙不可能同时由A到达C
B.甲可能先由A到达C
C.乙一定先由A到达C
D.若a1>a3，则甲一定先由A到达C
图像法利用v-t图像分析物体的运动情况，注意掌握以下三点：
(1)确定不同时刻速度的大小，利用图线的斜率求加速度。
(2)利用图线截距、斜率及斜率变化确定物体运动情况。
(3)利用图线与时间坐标轴围成的面积计算位移。
特训点二　自由落体运动和竖直上抛运动的规律　多过程问题(逐点突破类)
1.[自由落体运动]如图所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为L，小球球心与空心管的轴线重合，小球直径小于空心管内径。假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是 (　　)
A.两者同时由静止释放，小球在空中不能穿过空心管
B.小球自由下落，空心管固定不动，小球穿过空心管所需的时间t=
C.某时刻小球以一定初速度竖直向下抛出，同时由静止释放空心管，则小球一定能穿过空心管，穿过空心管所需的时间与当地重力加速度有关
D.某时刻由静止释放小球，经过很短的时间t后由静止释放空心管，则小球一定能穿过空心管，穿过空心管的时间与当地重力加速度无关
自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，一切匀加速直线运动的公式和推论均适用。
2.[竖直上抛运动](多选)如图，从P 点以某一初速度竖直向上抛一个小球(视为质点)，运动中小球依次经过A、B 两点，且A、B 两点与P点的高度差都是h，小球经过B 点时的速率是经过A点时的速率的2倍，重力加速度为g，运动中小球所受空气阻力不计。下列选项正确的是 (　　)
A.从P点抛出，小球最高可以上升的高度大小为
B.小球抛出时的初速度大小为
C.小球从P点抛出再回到P点经历的时间为
D.小球从最高点到达B点经历的时间为4
(1)若以竖直向上的初速度方向为正方向，则竖直上抛运动可看成加速度为-g的匀变速直线运动。
(2)研究竖直上抛运动的两种方法
①分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
②全程法：将全过程视为初速度为v0、加速度a=-g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性和对应的物理意义，一般取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点的上方；h<0时，物体在抛出点的下方。(3)对竖直上抛运动的三类对称的理解与应用
时间 对称 物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上=t下=
物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的时间相等
速度 对称 物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等，方向相反
物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等，方向相反
能量 对称 做竖直上抛运动的物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等
3.[匀变速直线运动中的多阶段问题](2023·山东卷)如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点。已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为 (　　)
A.3 m/s B.2 m/s
C.1 m/s D.0.5 m/s
求解多阶段运动问题的方法
(1)根据题意画出物体在各阶段的运动示意图或v-t图像，直观呈现物体的运动过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求量以及中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体在各阶段间的关联方程，联立求解。
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.加速度　2.(1)相同　(2)相反
3.(1)v0+at　(2)v0t+at2　at2
二、
1.(1)v2-
2.(1)aT2　(m-n)aT2　(2)中间时刻　一半
3.(1)1∶2∶3∶…∶n　(2)12∶22∶32∶…∶n2
(3)1∶3∶5∶…∶(2n-1)　(4)1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
三、
重力　静止　匀加速
v=gt　h=gt2　v2=2gh
v0-gt　v0t-gt2　-2gh
基础必验
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2.C　解析：根据速度的定义式v=，可知速度等于位移与时间的比值。位移是物体在一段时间内从一个位置到另一个位置的位置变化量，而时间是这段时间的长度。这个定义强调了速度不仅描述了物体运动的快慢，还描述了物体运动的方向。因此，速度是对物体位置变化快慢的描述。再根据物体位置随时间的关系x=1+2t+3t2，可知开始时物体的位置x0=1 m，1 s时物体的位置x1=6 m，则1 s内物体的位移Δx=x1-x0=5 m，C正确。
3.B　解析：她下落的整个过程所用的时间t== s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间t1== s=1 s，则用于姿态调整的时间约为t2=t-t1=0.4 s，B正确。
能力特训
特训点一
1.C　解析：由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v2.ABD　解析：汽车经过AB和BC两段所用的时间分别为4 s和2 s，则3 s末为AC的中间时刻，根据匀变速直线运动规律，中间时刻的速度等于这段时间的平均速度，则v3====4 m/s，A正确；根据匀变速直线运动的规律可得，AB的中间时刻，即2 s末的速度v2===3 m/s，BC的中间时刻，即5 s末的速度v5===6 m/s，根据匀变速直线运动的速度与时间关系式得v5=v2+aΔt，即a== m/s2=1 m/s2，B正确；从A到AB的中间时刻，即t3=2 s，汽车经过树A的速度vA=v2-at3=3 m/s-1×2 m/s=1 m/s，C错误；从A到C，经过时间t4=6 s，汽车经过树C的速度vC=vA+at4=1 m/s+1×6 m/s=7 m/s，D正确。
3.A　解析：设物体通过AB、BC所用时间均为T，则B点的速度vB==，根据Δx=aT2得a==，则vA=vB-aT=-=，则xOA== m，A正确。
4.A　解析：木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为a，木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有L=a，木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有2L=a，当木板长度为2L时，有3L=a，又Δt1=t1-t0，Δt2=t2-t0，联立解得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1)，A正确。
5.D　解析：由匀变速直线运动的规律x=v0t+at2，可得初速度v0=30 m/s，加速度a=-5 m/s2，刹车过程中在相邻1 s内的位移差的绝对值|Δx|=|a(Δt)2|=5 m，从刹车开始计时到停下经过的时间tm==6 s，8 s内通过的位移大小xm==90 m，B、C错误；把末速度为0的匀减速直线运动看成逆向的匀加速直线运动，刹车过程中最后1 s内的位移大小x1=-a=2.5 m，从刹车开始计时，第1 s内和第2 s内的位移大小之比为11∶9，D正确、A错误。
6.AB　解析：根据速度—时间图线得，若a1>a3，如图1，因为甲、乙两车的末速度相等，位移相等，即图线与时间轴围成的面积相等，则t乙a1，如图2，因为末速度相等，位移相等，则t乙>t甲。通过图线作不出位移相等、速度又相等、时间也相等的图线，所以甲、乙不能同时到达。A、B正确，C、D错误。
特训点二
1.A　解析：若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下落的高度相同，可知小球在空中不能穿过空心管，A正确；若小球自由下落，空心管固定不动，小球穿过空心管所需的时间是小球到达空心管的下端与到达空心管的上端的时间差，根据自由落体运动公式h=g，h+L=g，解得Δt=t2-t1=-，B错误；以空心管为参考系，小球相对空心管做匀速运动，可知小球穿过空心管所需的时间t=，与当地重力加速度无关，C错误；释放空心管时，小球的速度v=gt，以空心管为参考系，小球相对空心管以速度v做匀速运动，则小球穿过空心管所需的时间t'==，小球能穿过空心管，但是穿过空心管所需的时间与当地重力加速度有关，D错误。
2.AD　解析：根据题意，设小球经过A点时的速度为v，经过B点时的速度为2v，由匀变速运动规律，可得4v2-v2=4gh，得v2=gh，又-v2=2gh，由此可得=gh，小球从抛出到上升至最高点过程，有=2gH=gh，解得初速度v0=，H=h，A正确、B错误；小球从P点抛出再回到P点经历的时间t==，C错误；因为v2=gh，可得v=2，小球从最高点下落到B点所需的时间t'==4，D正确。
3.C　解析：由题知，电动公交车做匀减速直线运动，且设RS段的距离为x，则根据题意有==，==，联立解得t2=4t1，vT=vR-10，再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有=vR-a 5t1，则at1=2 m/s，其中还有=vR-a·，解得vR=11 m/s，联立解得vT=1 m/s，C正确。

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