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专题突破2　追及与相遇问题的题型技法
【目标任务】
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。
【能力特训】
一、物理模型：以甲车追乙车为例
1.无论v甲增大、减小或不变，只要v甲2.若v甲=v乙，则甲、乙的距离保持不变。
3.无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙间的距离就不断减小。
二、分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
1.一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
2.两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
三、分析方法
1.物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB=vA时，若xB>xA+x0，则能追上；若xB=xA+x0，则恰好追上；若xB2.二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx=0时，表示两者相遇。
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ=0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
当t=-时，函数有极值，代表两者距离的最大值或最小值。
3.图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的面积关系找位移关系。
素能提优一　追及、相遇问题(逐点突破类)
1.[速度小者追速度大者]一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度由静止开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v=6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车，则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时两车的距离是多少
情境 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大 ②t=t0时，两物体相距最远，为x0+Δx(x0为两物体的初始距离) ③t=t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速 追匀 减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动
2.[速度大者追速度小者]在水平轨道上有两列火车A和B，它们相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。
情境 图像 说明
匀减 速追 匀速 开始追赶时，两物体间的距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻： ①若Δx=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx=x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
匀速 追匀 加速
匀减 速追 匀加 速　
素能提优二　追及、相遇问题中的常用方法(逐点突破类)
1.[情境分析法]遂宁观音湖隧道设计长度为2 215 m，设计速度为50 km/h。一在隧道中行驶的汽车A以vA=4 m/s的速度向东做匀速直线运动，发现前方相距x0=7 m处、以vB=10 m/s的速度在相邻车道上同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车时的加速度大小a=2 m/s2，从汽车B刹车开始计时，若汽车A继续匀速不采取刹车措施，求：
(1)汽车A追上汽车B前，A、B两汽车间的最远距离；
(2)汽车A恰好追上汽车B所需要的时间。
情境分析法的解题思路
2.[图像分析法](2024·安徽模拟)(多选)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0=30 m/s，距离s0=100 m。t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图像如图所示，取运动方向为正方向，下列说法正确的是 (　　)
A.t=6 s时，两车速度相等
B.t=6 s时，两车距离最近
C.0~6 s内，两车位移之差为90 m
D.两车在0~9 s内会相撞
图像分析法的解题思路
图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴围成的面积。
3.[函数判断法]小球A从离地面高20 m处做自由落体运动，小球B从A下方的地面上以20 m/s的初速度做竖直上抛运动。两球同时开始运动，在空中相遇(不发生碰撞)，小球落地不反弹，取重力加速度g=10 m/s2，则 (　　)
A.两球在离地面高10 m处相遇
B.两球相遇时速率都是10 m/s
C.两球在空中相遇两次
D.两球第一次落地的时间差为1 s
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0。
(1)若f(t)=0有实数解，说明两物体能相遇。
(2)若f(t)=0无实数解，说明两物体不能相遇。
参考答案
能力特训
素能提优一
1.2 s　6 m
解析：方法一，分析法
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v=at
所以t==2 s
Δx=vt-at2=6 m。
方法二，极值法
设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx=vt-at2
代入已知数据得Δx=6t-t2
由二次函数求极值的条件知，t=2 s时，Δx有最大值6 m
所以t=2 s时两车相距最远，最远距离为6 m。
方法三，图像法
自行车和汽车的v-t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时两车间的距离为阴影三角形的面积
v1=6 m/s
所以有t1== s=2 s
Δx== m=6 m。
2.v0<
解析：方法一，临界法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA=v0t+×(-2a)×t2
vA=v0+(-2a)×t
对B车有sB=at2，vB=at
对两车有s=sA-sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立以上各式解得v0=
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
方法二，函数法
利用判别式求解，由方法一可知sA=s+sB
即v0t+×(-2a)×t2=s+at2
整理得3at2-2v0t+2s=0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
方法三，图像法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t'时间两车刚好不相撞，此时vA=vB=v'，则对A车有vA=v'=v0-2at'
对B车有vB=v'=at'
以上两式联立解得t'=
经t'时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s=v0·t'=v0·=，所以要使两车不相撞，s>，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
素能提优二
1.(1)16 m　(2)8 s
解析：(1)当A、B两汽车的速度相等时，两车间的距离最远，即v=vB-at=vA
得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
A、B两汽车间的最远距离Δxm=xB+x0-xA=16 m。
(2)汽车B从开始减速到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需要再运动的时间t2==3 s
故汽车A追上汽车B所用时间t总=t1+t2=8 s。
2.ABC　解析：由加速度—时间图像可画出两车的速度—时间图像，如图所示，由图像可知，t=6 s时两车速度相等，此时距离最近，A、B正确；图中阴影部分面积为0~6 s内两车位移之差，Δx=×30×3 m+×30×(6-3) m=90 m3.B　解析：根据gt2+v0t-gt2=20 m得，相遇的时间t= s=1 s，相遇时，A球的速率vA=gt=10 m/s，B球的速率vB=v0-gt=20 m/s-10 m/s=10 m/s，离地的高度h'=20 m-gt2=20 m-×10×1 m=15 m，A错误、B正确；第一次相遇后，A继续向下运动，B继续上升，两球不可能第二次相遇，C错误；A落地所需的时间tA= = s=2 s，B落地所需的时间tB== s=4 s，则落地时间差Δt=tB-tA=4 s-2 s=2 s，D错误。

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