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2024-2025学年湖北省咸宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.根据统计，某篮球运动员在次投篮中，命中的次数为次，则该运动员( )
A. 投篮次至少有次命中 B. 投篮命中的频率为
C. 投篮命中的概率为 D. 投篮次有次命中
2.设函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.从，，，，，这六个数字中任选个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的值域为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为( )
A. B. C. D.
7.定义域为的函数满足，则不等式的解为( )
A. B. C. D.
8.投掷均匀的骰子，每次投得的点数为或时得分，投得的点数为，，，时得分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是( )
A. 投掷次骰子，最终得分的期望为
B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D. 设最终得分为分的概率为，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.现有个编号为，，，的盒子和个编号为，，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含项的系数为______．
13.已知函数，则的值______．
14.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有个不相等的实数根，它们分别是，，，则______；的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求曲线在处的切线；
求过点且与曲线相切的直线方程．
16.本小题分
已知求：
；
；
．
17.本小题分
年春节档一部国产动画电影哪吒之魔童闹海横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至月日，该电影已进入全球票房榜前五经权威电影机构调查，得到其前周的票房数据如表：
周次 第周 第周 第周 第周 第周
周次代码
票房总额亿元
求关于的线性回归方程；
该机构随机调查了某电影院月日位观影人的购票情况，其中购买哪吒之魔童闹海的男性有人，女性有人，购买其他电影的男性有人，女性有人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买哪吒之魔童闹海与性别有关．
购买哪吒 购买其他电影 合计
男性
女性
合计
附：，，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；
，其中．
18.本小题分
现有枚质地不同的游戏币，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏．
甲将游戏币向上抛出次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大；
甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列；
将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
19.本小题分
约瑟夫路易斯拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的定理如下：若函数满足如下条件：
函数在区间上连续函数图象没有间断；
函数在开区间内可导导数存在则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
对于任意的实数，，证明：；
已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为，所以，
所以，，
所以切线方程为，即；
设过点的切线切于点，
则切线方程为，又其过，
因为，
所以，
解得或，
所以切线方程为或．
16.令，得
令，得，
则可得：；
二项式的展开式的通项公式为，，，，，
时，，时，，
；
对已知等式两边分别求导，得，
令，得．
17.根据题意可得，，
所以，
所以，
所以经验回归方程为；
根据题意可得补全后的列联表如下：
购买哪吒 购买其他电影 合计
男性
女性
合计
所以，
所以没有的把握认为购买哪吒之魔童闹海与性别有关．
18.每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，
故，于是．
，
因此，
当时，，当时，，
因此当时，最大．
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
因此，，，可取，，．
由事件相互独立，
因此，
，
，
因此的分布列为：
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，，，，
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故，
故当时，
，
即，．
记，因此，，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
故，因此，
故，，，，，，因此，因此不公平．
19.解：因为，
所以，
设为在上的“拉格朗日中值点”，
则，
解得，，
所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为．
证明：设，有，
易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件，
当时，显然有，
当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得
又由，有，
可得，
即不等式成立．
证明：由，有，
又由，设，
有，
根据导数与单调性关系可得函数单调递增，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
使得，
同理可知，存在，
使得，
又由和函数单调递增，有，
有，
可得，
故不等式成立．
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