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2024-2025 学年河南省三门峡市渑池第二高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2,0,2,4}， = { ∈ | < 3}，则 ∪ =( )
A. {0,2} B. { 2,0,2} C. { 2,0,1,2,4} D. { 2,0,1,2,3,4}
2.已知随机变量 1等可能取值为 1，2，3， ( ∈ )，若 ( < 5) = 4，则( )
A. = 20 B. = 18 C. = 16 D. = 14
3.在数列{ }中，已知 1 = 6， 2 = 3， +1 = +2 + ，则 2025 =( )
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
4.某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度 (单位： )与时间 (单位： )的函数关系式是 ( ) = 100 +
1.5 2 + 4 ，设其在 = 0 时的瞬时速度为 0，则当其瞬时速度为 4 0时， =( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
5.《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱.现将敖丙、
敖闰、申公豹、太乙真人 4 个卡通模型和 2 个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的
概率为( )
A. 16 B.
1
4 C.
1 1
3 D. 2
6.已知数列{ }，{ }的通项公式分别为 = 4 3， = 5 4，由{ }，{ }的公共项从小到大排列得
到的数列为{ }，则 100 =( )
A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001
7.在正方体 1 1 1 1，中， 是 的中点，则 与平面 1 所成角的正弦值为( )
A. 105 2 30 7 815 B. 15 C. 15 D. 15
8.已知函数 ( ) = 2 3 2 + 1( ∈ )在(0, + ∞)内有且只有一个零点，则曲线 = ( )的对称中心为( )
A. (0,1) B. (1,0) C. ( 12 , 0) D. (
1
2 ,
1
2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算不正确的是( )
A. (sin 3 )′ = cos 3 B. ( )′ = 1 2

C. ( 1 2 )′ = 2 D. (ln(3 + 1))′ = 3 +1
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10.若圆 2 + ( 1)2 = 1 上总存在两个点到点( , 2)的距离为 1，则 的取值可以是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
11 1.已知数列{ }中， 1 = 2， +1 = 2
2
+ ，则( )
A. { }是递增数列 B. ∈ ， +1 < + 2
C. ∈ ， 12 +1 ≥ 2 + 1 D.数列{
1
+2 }
1 1
的前 项和为
2
+1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 3 1 2 )
10的展开式中常数项为______．
13.曲线 = 2 + 4在 = 4处的切线方程为______．
14.某校 8 名学生(高一 1 人，高二 3 人，高三 4 人)在数学竞赛中获奖. 8 人站成一排合影留念，同年级的
同学不相邻的站法有______种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试(测试Ⅰ)通过率为 (0 < < 1)，未通过测试Ⅰ的芯片进
入第二次测试(测试Ⅱ)，通过率为 (0 < < 1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
(1)若某批次生产了 枚芯片，合格数为随机变量 .当 = 0.8， = 0.5 时，求 的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 3．
(1)求{ }的通项公式；
(2) 1 1设 = ( +1) ( +2 ，记数列
{ }的前 项和为 ) ，证明： ≤
< 1．
2 2 23 3
17.(本小题 15 分)
2
已知曲线 ： 2 = 1( ≠ 0)，直线 = 与 交于 ， 两点．
(1)若从 3， 2， 1，1，2，3 中任选一个数作为 ，求 是椭圆的概率；
(2)已知 是 1上与 ， 均不重合的点，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，若 1 2 = 4，求 的方程．
18.(本小题 17 分)
已知{ }，{ }，{ }都是正项数列，且满足 = ， 3 = 2 3，{ }的前 项和 = 2 ．
(1)若{ }是等比数列，求{ }的公比；
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(2)若{ }是等差数列，求{ }的通项公式；
(3)在(2)的条件下，若 1 = 2，证明{ }是等比数列，并求 ．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 在 上， 2垂直于 轴，且| 1| =
5
2 , | 2| =
3
2．
(1)求 的方程；
(2)若 为椭圆 的右顶点，过(2,1)的直线与椭圆交于不同的两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，且 1 > 2．
( )求证：直线 与直线 的斜率之和为定值；
( )过 与 轴垂直的直线交直线 于点 ，求 中点的轨迹方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.210
13.8 + 4 3 = 0
14.2016
15.(1)设“芯片合格”为事件 ，
由题易知每个芯片合格的概率为 ( ) = + (1 ) = 0.8 + (1 0.8) × 0.5 = 0.9，
所以随机变量 满足二项分布 ～ ( , 0.9)，
则 ( ) = 0.9 ， ( ) = 0.9 (1 0.9) = 0.09 ；
(2)记事件 ：芯片合格，事件 ：通过测试 ，事件 ：通过测试Ⅱ，

由题意得 ( ) = ( ) + ( ) ( | ) = + (1 ) ，
( ) = ( ) ( | ) = 1 = ，
( | ) = ( ) = 则 ( ) +(1 ) ，

故所求概率为 +(1 ) ．
16.(1)因为 = 2 3①，所以 1 = 2 1 3，解得 1 = 3，
对任意的 ∈ ， +1 = 2 +1 3②，
② ①得 +1 = 2 +1 2 ，即 +1 = 2 ，
所以数列{ }是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 = 3 × 2 1．
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证明：(2) 1因为 = +1 +2 =
1 1 ，
2( 3 ) 2( 3 ) +1
所以 = 1
1 1 1
2+ 2 3 + +
1 1 1 +1 = 1 +1，
> 0 1因为 ，数列{ }为单调递增数列，所以2 = 1 ≤ < 1，
1
即2 ≤ < 1．
17.(1)当 = 1 时， 是 2 + 2 = 1 是圆，当 = 3 或 2 时， 是椭圆，
当 > 0 时， 是双曲线，
综上，从 3， 2， 1 2 1，1，2，3 中任选一个数作为 ， 是椭圆的概率为 = 6 = 3；
2
(2)设 ( 0, 0)，那么 ( 0, 0)， 2
0
0 = 1 记为①，
2
设 ( , )，那么 ≠± 20，

= 1 记为②，
2 2 2 2
② ①得 2 2 = 0 0 10 ，因此 2 2 = ， 0
2 2
那么 1 =
0 + 0 0 1
2 0 +
=
0 2 2
= ，0
1 1 2
因此 = 4，解得 = 4，那么 ：
2 4 = 1．
18.(1) ∵ { }，{ }，{ }都是正项数列，且满足 = ， 3 = 2 3，{ }的前 项和 = 2 ，
∴ 3 = 2 3 3 = 2 3
3 3
2 = 2 3，
{ 3设 }的公比为 ( > 0)，则上式等价于 1(1 + + 2) = 2 1
2，
整理得 2 2 2 = 0，解得 = 1 + 3( = 1 3 < 0 舍去)．
(2) ∵ 33 = 2 3，∴ 3 = = 2，3
∵ 1 = 1 = 2 1 1，即 1 = 1，∴ 1 = 1，
∴ { } = 3 1 = 2 1 1 的公差 2 2 = 2，
∴ = 1 +
1 ( 1) = +12 2 ．
(3)证明：由(2)得 = 2 = 2
= 2 2 = 2 +1 +1 ，
∴ = 2( +1) 2( +1) 2 +1 +2 +1，两式作差得 +1 = +2 +1 +1 ，

整理得 +1 =
2( +2)
+1
，
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+2
∴ +1 +1 = 2( +2) 2
+1 = 2( +2) ，即 +1 +1 +1 +1 ，∴ = 2， 2
∴ { }是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
∴ 1 1 = 2 × 2 = 2 ，则 = = ( + 1) 2 ，
∴ = 2 = ( + 1) 2 2 = 2 ．
19.(1)由题意有| 1| + | | =
5 3
2 2+ 2 = 4 = 2 ，解得 = 2，
又| 1 2 2 2
5 2 3 2 2
2| = | 1| | 2| = ( 2 ) ( 2 ) = 4 = 4 ，解得 = 1，
又由 2 = 2 2 = 4 1 = 3，
2 +
2
所以 4 3 = 1；
(2)( )由题意可设过(2,1)的直线的方程为 = ( 2) + 1，
= + (1 2 )
所以 2 2 ，消去 化简整理有(3 + 4 2) 2 + 8 (1 2 ) + 4(1 2 )2 12 = 0，
4 + 3 = 1
所以 = [8 (1 2 )]2 4(3 + 4 2)[4(1 2 )2 12] = 96(2 + 1) > 0，解得 > 12，
8 (1 2 )
2
所以 1 + 2 = 3+4 2 , =
4(1 2 ) 12
1 2 3+4 2 ，
1 又 2 = , = ，1 2 2 2
+ = 1 + 2 = 2 1 2 (4 1)( 1+ 2) 4(1 2 )所以 1 2 2 2 1 2 2( 1+ 2)+4
2 4(1 2 )
2 12+8 (1 2 )(4 1)2 2 4(1 2 )3+4 3+4 (1 2 )[8 (1 2 )+8 (4 1) 4(3+4 2= = )] 24
4(1 2 )2 12 16 (1 2 ) (1 2 )[4(1 2 )+16 ] 16 2 = 3；+ +4
3+4 2 3+4 2
( )设 中点为( , )， ( 3, 3)，则 3 =
2
1，又直线 的方程为 = 2 ( 2)，2
+
令 = 21有 3 = 2 ( 1 2)，所以 = 1, =
1 3
2 ，2
2
= 1+

3 1
+ ( 1 2)
= 2 2 = 2 1 2 (4 1)( 1+ 2) 4(1 2 )所以 2 2 2( 2 2)
2
= 8 (1 2 ) 24 +8 (1 2 )(4 1) 4(1 2 )(3+4
2) 6 6( 1 2)
2( 2 2)(3+4 2)
= ( 2 2)(3+4 2)
= ( 1 2)( 2 2)(3+4 2)
，
又因为( 2 21 2)( 2 2)(3 + 4 ) = [ 1 2 2( 1 + 2) + 4](3 + 4 )
4(1 2 )2 12 8 (1 2 )
= [ 2 + 2 × 2 + 4](3 + 4
2) = 4(1 2 )2 12 + 16 (1 2 ) + 4(3 + 4 2)
3+ 4 3+ 4
= (1 2 )[4(1 2 ) + 16 ] 12 + 4(3 + 4 2) = (1 2 )(8 + 4) + 16 2 = 4
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= 6( 1 2) = 3所以 4 2 ( 1 2)，
所以 = 32 ( 2)．
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