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2024-2025 学年新疆喀什地区巴楚县高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,2}， = {0,1,2}，则 ∩ =( )
A. {0} B. {0,1} C. {0,2} D. {0,1,2}
2.已知离散型随机变量 的分布列为
1 2 3
3 1
5 10
则 的数学期望 ( ) =( )
A. 32 B. 2 C.
5
2 D. 3
3.一场文艺汇演中共有 2 个小品节目、2 个歌唱类节目和 3 个舞蹈类节目，若要求 2 个小品类节目演出顺
序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有( )
A. 480 种 B. 1200 种 C. 2400 种 D. 5040 种
4.( 2 )6的展开式中， 4 2的系数为( )
A. 15 B. 15 C. 60 D. 60
5.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 ( ′ 3 ) + (

，则 ′ 3 ) =( )
A. 32 B.
1
2 C.
1 3
2 D. 2
6.数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正确 2 道题才能及格.某同学只能求解其
中的 4 道题，则他能及格的概率是( )
A. 1 2 3 45 B. 5 C. 5 D. 5
7.某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个
部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为( )
A. 52 B. 60 C. 72 D. 360
2
8.函数 = 1 存在极值点，则实数 的取值范围为( )
A. < 1 B. > 0 C. ≤ 1 或 > 0 D. < 1 或 > 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 与 线性相关，且求得回归方程为 = + 3.5，变量 ， 的部分取值如表所示，则( )
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30 40 50 60
25 30 40 45
A. 与 负相关 B. = 0.7
C. = 10 时， 的预测值为 10.5 D. (40,30)处的残差为 1.5
10.下列选项正确的有( )
A.若 > 1 + 4 2 ，则 +1有最小值 3 B.若 ∈ ，则 2+1有最大值 1
C.若 > > 0 1 1，则 3 > 3 D.若 < < 0，则 >
11.已知(1 2 )7 = 0 + 21 + 2 + + 77 ，则( )
A. 0 = 1 B. 3 = 280
C. 1 + 2 + + 7 = 2 D. 0 + 2 + 4 + 6 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 (1, 2)，且 (1 < ≤ 4) = 0.3，则 ( > 4) =______．
13 .函数 ( ) = 的图象在点 (1, (1))处的切线方程为______．
14 2.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为3，且各局
比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了 3 局的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
有甲、乙两名同学，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率
分布大致如表所示：
甲学生
分数 甲 80 90 100
概率 0.2 0.6 0.2
乙学生
分数 乙 80 90 100
概率 0.4 0.2 0.4
试问：甲、乙两名同学谁的成绩好一些？
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + 1 在 = 1 处取得极值．
(1)求 的值；
(2)求 ( )的单调区间及极值．
17.(本小题 15 分)
某手机 公司对一小区居民开展 5 个月的调查活动，使用这款 人数的满意度统计数据如下：
月份 1 2 3 4 5
不满意的人数 120 105 100 95 80



(1)求不满意人数 与月份 之间的回归直线方程 = + ，并预测该小区 10 月份对这款 不满意人数；
(2)工作人员从这 5 个月内的调查表中随机抽查 100 人，调查是否使用这款 与性别的关系，得到下表：
使用 不使用
女性 48 12
男性 22 18
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，能否认为是否使用这款 与性别有关？

附：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为




=1

= = 2 = ( )
2
2
2 ， ，
=1 ( + )( + )( + )( + )
， = + ++ ，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据：5 5 2 5 =1 = 1410， =1 = 55， =1 = 500．
18.(本小题 17 分)
7
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，当
1 1
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1( ∈ )．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )( ∈ [0,1])的最值；
(2)当 < 1，讨论函数 ( )的零点个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.2
13. 1 = 0
14.25
15.解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为：
( 甲) = 80 × 0.2 + 90 × 0.6 + 100 × 0.2 = 90， ( 乙) = 80 × 0.4 + 90 × 0.2 + 100 × 0.4 = 90，
方差分别为 ( 甲) = (80 90)2 × 0.2 + (90 90)2 × 0.6 + (100 90)2 × 0.2 = 40，
( 乙) = (80 90)2 × 0.4 + (90 90)2 × 0.2 + (100 90)2 × 0.4 = 80，
由上面的数据，可知 ( 甲) = ( 乙)， ( 甲) < ( 乙)，
这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，
甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．
16.解：(1)因为 ( ) = 3 + 2 2 + 1，所以 ′( ) = 3 2 + 2 2，
由题意 ′(1) = 3 + 2 2 = 0，解得 = 12，经检验符合题意；
(2)由(1) 1得 ( ) = 3 22 2 + 1，则 ′( ) = 3
2 2 = (3 + 2)( 1)，
令 ′( ) > 0，解得 > 1 或 < 23，
令 ′( ) < 0 2，解得 3 < < 1，
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( ) ( ∞, 2 2故 在 3 )上单调递增，在( 3 , 1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
则 ( )在 = 23处取得极大值 (
2
3 ) =
49
27，在 = 1 处取得极小值 (1) =
1
2，
2 2 49 1
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 3 )和(1, + ∞)，单调递减区间为( 3 , 1)，极大值为27，极小值为 2．
17. 1 解：(1)由表可知， = 5 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3
1
， = 5 × (120 + 105 + 100 + 95 + 80) = 100，
5

所以 = =1
5 = 1410 5×3×100 = 9，
5 2 2 2 =1 5 55 5×3

= = 100 ( 9) × 3 = 127，

所以不满意人数 与月份 之间的回归直线方程为 = 9 + 127，

当 = 10 时， = 9 × 10 + 127 = 37，
故预测该小区 10 月份对这款 不满意人数为 37 人．
(2)零假设 0：使用这款 与性别无关，
100×(48×18 12×22)2 2 = 70×30×60×40 ≈ 7.143 < 10.828，
故根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，没有充分的证据推断假设不成立，即认为使用这款 与性别无
关．
18.解：(1)根据题意，设 =“输入的问题表达清晰”，事件 =“智能客服的回答被采纳”，

则 ( ) = 1 1 45，则 ( ) = 1 5 = 5，

( | ) = 7 18， ( | ) = 2，

故 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 45 ×
7 1 1 4
8+ 5 × 2 = 5，
(2)根据题意， 4可取的值为 0、1、2、3，则 ～ (3, 5 )，
( = 0) = 0 4 3 1则 3(1 5 ) = 125，
( = 1) = 0 43 × 5 × (1
4
5 )
2 = 12125，
( = 2) = 0 × ( 43 5 )
2 × (1 4 ) = 485 125，
( = 3) = 0 × ( 4 )3 = 643 5 125，
故 的分布为：
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0 1 2 3
1 12 48
64
125 125 125 125
19.(1)当 = 2 时，函数 ( ) = 2 1，导函数 ′( ) = 2．
令导函数 ′( ) = 0，即 2 = 0，解得 = 2．
当 ∈ ( 2,1]时， > 2，所以 ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ [0, 2)时， < 2，所以 ′( ) < 0， ( )单调递减，
那么函数 ( )在 = 2 处取得极小值，也是最小值．
( ) = ( 2) = 2 2 2 1 = 2 2 2 1 = 1 2 2．
且 (1) = 1 2 × 1 1 = 3， (0) = 0 2 × 0 1 = 0，
因为 3 < 0， ( ) = (0) = 0
综上所得，当 = 2， ∈ [0,1]时， ( ) = 0， ( ) = 1 2 2．
(2)导函数 ′( ) = ，
①当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，因此函数 ( )在 上单调递增，又由于 (0) = 0，因此 ( )只有 1 个零点；
②当 0 < < 1 时，根据 ′( ) < 0，得 < ，因此函数 ( )在区间( ∞, )上单调递减，
又根据 ′( ) > 0，得 > ，因此函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
由于 (0) = 0，且 < 0，因此 ( ) < 0，
由于 ( 1 ) =
1

> 0
1
，所以存在 1 ∈ ( , 0)，使得 ( 1) = 0，
所以函数 ( )有 2 个零点；
综上所得，当 ≤ 0 时， ( )有且仅有一个零点；当 0 < < 1 时， ( )有两个零点．
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