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2024-2025学年新疆喀什地区巴楚县高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列为
则的数学期望( )
A. B. C. D.
3.一场文艺汇演中共有个小品节目、个歌唱类节目和个舞蹈类节目，若要求个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
6.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，规定至少要解答正确道题才能及格某同学只能求解其中的道题，则他能及格的概率是( )
A. B. C. D.
7.某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排人，其余部门各安排人，则不同的方案数为( )
A. B. C. D.
8.函数存在极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则( )
A. 与负相关 B.
C. 时，的预测值为 D. 处的残差为
10.下列选项正确的有( )
A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值
C. 若，则 D. 若，则
11.已知，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则______．
13.函数的图象在点处的切线方程为______．
14.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了局的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有甲、乙两名同学，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在分、分、分的概率分布大致如表所示：
甲学生
分数
概率
乙学生
分数
概率
试问：甲、乙两名同学谁的成绩好一些？
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的值；
求的单调区间及极值．
17.本小题分
某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
月份
不满意的人数
求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；
工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：
使用 不使用
女性
男性
根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，，，
参考数据：，，．
18.本小题分
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为．
求智能客服的回答被采纳的概率；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数求的分布．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最值；
当，讨论函数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为：
，，
方差分别为，
，
由上面的数据，可知，，
这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，
甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．
16.解：因为，所以，
由题意，解得，经检验符合题意；
由得，则，
令，解得或，
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为．
17.解：由表可知，，，
所以，
，
所以不满意人数与月份之间的回归直线方程为，
当时，，
故预测该小区月份对这款不满意人数为人．
零假设：使用这款与性别无关，
，
故根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断假设不成立，即认为使用这款与性别无关．
18.解：根据题意，设“输入的问题表达清晰”，事件“智能客服的回答被采纳”，
则，则，
，，
故，
根据题意，可取的值为、、、，则，
则，
，
，
，
故的分布为：


19.当时，函数，导函数．
令导函数，即，解得．
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递减，
那么函数在处取得极小值，也是最小值．
．
且，，
因为，
综上所得，当，时，，．
导函数，
当时，，因此函数在上单调递增，又由于，因此只有个零点；
当时，根据，得，因此函数在区间上单调递减，
又根据，得，因此函数在上单调递增，
由于，且，因此，
由于，所以存在，使得，
所以函数有个零点；
综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．
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