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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
人教版九年级上册
情境引入
姚明一次精彩的投球
欣赏下面两幅图片：
情境引入
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线，在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
情境引入
1.什么叫函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
复习回顾
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题引入
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
【分析】每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 .
n-1
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.
问题引入
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
【分析】这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)2
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题引入
问题1-3中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次整式表示的
y=6x2
y=20x2+40x+20
探究新知
二次函数的定义：
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
探究新知
自主探究
问题:
（1）二次函数概念中a,b,c有怎样的要求？
a,b,c是常数，a≠0.
探究新知
自主探究
（2）当a=0时，这个函数还是二次函数吗？为什么？
当a=0时，这个函数不是二次函数，有可能是一次函数.
问题:
探究新知
自主探究
问题:
(3)b或c能为0吗？
b,c 可以为0.
探究新知
1.下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t ③y=x2
④ ⑤y=x +x +25 ⑥ y=(x+3) -x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，右边是分式.
不是，x的最高次数是3.
y=6x+9
【点睛】判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
巩固练习
2.在二次函数 中，二次项系数为___，一次项系数为
____，常数项为____.
3.已知函数，当____时，是关于 的二次函数．
1
4.如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为，则用含 的
代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积_____ ，各条棱的长
度和__________，长方体的体积_____ .
第4题图
5.如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和 ，现在长、宽上分
别剪去宽为 的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积
与 之间的函数关系式为_____________________________.
（化为一般式，并写出自变量的取值范围）
第5题图
6.如图，某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修
建一个矩形花园.花园的一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围
成．若设花园边的长度为，花园的面积为，则与 的函
数关系式为________________，自变量的取值范围是___________.
7.已知在中， ，，设， 的
面积是，求面积关于的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
解：如解图所示，作的高 ．
在中， ， ，
.
.
面积关于 的函数关系式为
．

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