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第3讲　力的合成与分解
【目标任务】
1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别。
【知识特训】
知识必记
一、共点力
　　作用在物体的　　　　　，或作用线的　　　　　交于一点的力。下列各图中的力均是共点力。
二、力的合成
1.合力与分力
(1)定义：如果一个力　　　　　跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的　　　　　。若几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的　　　　　。
(2)关系：合力和分力是　　　　的关系。
2.力的合成方法
定义：求几个力的　　　　　的过程。
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的有向线段为　　　　　作平行四边形，这两个邻边之间的　　　　　就代表合力的大小和方向。如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力。
(2)三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的　　　　　为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力。
三、力的分解
1.定义：求一个力的　　　　　的过程。力的分解是力的合成的　　　　　。
2.遵循的原则
(1)　　　　　定则。
(2)三角形定则。
3.分解方法
(1)效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1=Gsin θ，G2=Gcos θ。
(2)正交分解法：将已知力按互相　　　　　的两个方向进行分解的方法。
四、矢量和标量
1.矢量：既有大小又有　　　　　，相加时遵循　　　　定则的物理量，如速度、力等。
2.标量：只有大小没有　　　　，相加时按　　　　　法则的物理量，如路程、速率等。
基础必验
1.思考判断
(1)合力及其分力可以同时作用在物体上。(　　)
(2)合力与分力是等效替代关系，因此受力分析时不能重复分析。 (　　)
(3)进行力的合成与分解，当合力与分力不在一条直线上时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。 (　　)
(4)两个力的合力一定比其分力大。 (　　)
(5)将力进行分解时，一定要将它分解到水平、竖直两个方向上。 (　　)
2.[力的合成]两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是 (　　)
A.若F1和F2的大小不变，θ角越小，合力F就越大
B.合力F总比分力F1和F2中任何一个分力都大
C.如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D.若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就越大
3.[力的分解]唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，如图所示。忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是(　　)
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
【能力特训】
特训点一　力的合成(自主冲关类)
1.[求两个力的合力](2023·重庆卷)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α，如图所示，则该牙所受牵引力的合力大小为(　　)
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
2.[三个力的合力范围](多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况的判断正确的是(　　)
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动了
3.[用作图法求合力]一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A.三力的合力有最大值F1+F2+F3，方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向与F3相同
C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3相同
D.由题给条件无法求出合力大小
4.[计算法求合力](2024·河北期末)河北保定修建的一座重达8万余吨的转体双翼斜拉桥实现了原地旋转、自转合拢，其误差不到1毫米，对接过程看起来就像是空中芭蕾。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是6×105 N，已知sin 53°=0.8，则它们对塔柱的合力是 (　　)
A.5.6×105 N B.7.2×105 N
C.3.6×105 N D.4.8×105 N
1.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2。两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大。
(2)三个共点力的合力范围
最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax=F1+F2+F3。
最小值：以代表这三个力的有向线段为边，如果能组成封闭的三角形(三个力首尾相接)，则其合力的最小值为零，即Fmin=0；如果不能，则合力的最小值为Fmin=F1-|F2+F3|(F1为三个力中最大的力)。
2.共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对
角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F= tan θ=
两力等大，夹角为θ F=2F1cos F与F1夹角为
两力等大，夹角为120° 合力与分力等大 F'与F夹角为60°
特训点二　力的分解(逐点突破类)
1.[力的效果分解法](2024·福建模拟)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，图中弹力F标示正确且分解合理的是 (　　)
按力的作用效果分解(思路图)
2.[正交分解法](2024·四川宜宾期末)如图，风对帆面的作用力F垂直于帆面，它能分解成两个分力F1、F2，其中F2垂直于航向，会被很大的横向阻力平衡，F1沿着航向，提供动力。若帆面与航向之间的夹角为θ，下列说法正确的是(　　)
A.F2=F1tan θ
B.F2=Fcos θ
C.船受到的横向阻力大小为
D.船前进的动力大小为
正交分解法及其应用
(1)定义：将已知量沿相互垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建轴原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和
垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)解题方法：首先把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，然后分别对x轴方向和y轴方向列式分析。
特训点三　模型构建——力的合成与分解的两类模型(逐点突破类)
1.[“活结”模型](多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是 (　　)
A.绳的右端上移到b'，绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
“活结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”绳子上的张力大小处处相等
2.[“死结”模型](2024·甘肃天水阶段练习)如图所示，A、B两物体用两根轻质细线分别悬挂在天花板上，两细线与水平方向的夹角分别为60°和45°，A、B间拴接的轻弹簧恰好处于水平状态，下列说法正确的是 (　　)
A.A和B所受弹簧弹力大小之比为∶
B.A和B所受弹簧弹力大小之比为2∶
C.A、B两物体质量之比为∶1
D.A、B两物体质量之比为∶1
“死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子张力不一定相等
3.[“动杆”模型]如图所示，轻绳AB的A端固定在墙上，B端连接在轻杆上，轻杆BC的C端用光滑铰链连接在墙上，B端挂一重力为G=100 N的物体。已知AB=2.7 m，AC=1.8 m，BC=3.6 m，则轻绳AB和轻杆BC上的力分别是(　　)
A.200 N，150 N B.150 N，200 N
C.150 N，100 N D.100 N，150 N
“动杆”模型
模型结构 模型解读 模型特点
轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
4.[“定杆”模型]水平横杆的一端A插在墙壁内，另一端装有一个轻质小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的物体，CB与水平方向间的夹角为30°，如图所示。下列说法正确的是(重力加速度g取10 m/s2) (　　)
A.绳子CB段的张力大于绳子BD段的张力
B.杆对滑轮的作用力水平向右
C.滑轮受到杆的作用力大小为100 N
D.若将C点稍向上移动，绳子对滑轮的作用力将增大
“定杆”模型
模型结构 模型解读 模型特点
轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
参考答案
知识特训
知识必记
一、
同一点　延长线
二、
1.(1)单独作用的效果　合力　分力
(2)等效替代
2.合力　(1)邻边　对角线　(2)有向线段
三、
1.分力　逆运算
2.(1)平行四边形　
3.(2)垂直
四、
1.方向　平行四边形　2.方向　算术
基础必验
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.A　解析：若F1和F2的大小不变，θ角越小，根据平行四边形定则知，合力越大，A正确；合力可能比分力大，可能比分力小，也可能与分力相等，B错误；若夹角θ不变，F1的大小不变，F2增大，若F2与F1反向且F1>F2，则合力F减小，C错误；根据力的合成法则，若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2可能均变大，还可能一个不变，另一个变大，也可能一个变小，另一个变大，D错误。
3.B　解析：耕索对曲辕犁的拉力在水平方向上的分力为Fsin α，耕索对直辕犁的拉力在水平方向上的分力为Fsin β，由于α<β，则Fsin β>Fsin α，A错误；耕索对曲辕犁的拉力在竖直方向上的分力为Fcos α，耕索对直辕犁的拉力在竖直方向上的分力为Fcos β，由于α<β，故Fcos α>Fcos β，B正确；耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力与反作用力，故耕索对犁的拉力大小等于犁对耕索的拉力大小，C、D错误。
能力特训
特训点一
1.B　解析：根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小F合=2Fcos ，故选B。
2.ABC　解析：两个2 N的力的合力大小范围为0~4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力大小范围为0~7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误。
3.B　解析：根据平行四边形定则，作出F 1、F 2的合力如图所示，它的大小等于2F 3，方向与F 3相同，再跟F 3合成，所以三个力的合力为3F3，B正确。
4.B　解析：它们对塔柱的合力F合=2Fcos 53°=2×6×105×0.6 N=7.2×105 N，B正确。
特训点二
1.B　解析：减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，A、C错误；按照力的作用效果分解，F可以沿水平方向和竖直方向分解，水平方向的分力产生减慢汽车速度的效果，竖直方向上的分力产生使汽车向上运动的效果，B正确、D错误。
2.B　解析：根据几何关系可得=tan θ，=cos θ，解得F2=，F2=Fcos θ，A错误、B正确；根据题意可知，船受到的横向阻力与F2等大反向，即等于Fcos θ，C错误；根据题意可知，船前进的动力为沿着航向的分力F1，根据几何关系可得=tan θ，解得船前进的动力为F1=F2tan θ，D错误。
特训点三
1.AB　解析：设两杆间的距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l=la+lb，两部分绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，受力分析如图所示。绳子中各部分张力大小相等，Fa=Fb=F，则α=β，满足2Fcos α=mg，d=lasin α+lbsin α=lsin α，即sin α=，F=，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，A正确、C错误；将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大，B正确；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变，D错误。
2.D　解析：轻弹簧恰好处于水平状态，弹簧受到的合力为零，可得A对弹簧的力和B对弹簧的力大小相等，所以A和B所受弹簧弹力大小相等，A、B错误；设弹簧弹力大小为F，对A、B分别进行受力分析可得=tan 60°，=tan 45°，解得=∶1，C错误、D正确。
3.B　解析：对结点B进行分析，可知B点受竖直向下的大小等于物体的重力G的拉力G'、AB绳的拉力FAB和BC杆的支持力FCB而保持静止状态，如图所示，这三个力构成一个与三角形ABC相似的矢量三角形，根据数学知识可得==，解得FAB=150 N，FCB=200 N，B正确，A、C、D错误。
4.C　解析：同一根绳子上的张力处处相等，则绳子CB段的张力等于绳子BD段的张力，A错误；由题意可得，对滑轮受力分析，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F1=F2=mg=100 N，根据平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则合力F=100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30°角斜向下，则杆对滑轮的作用力方向与水平方向成30°角斜向上，B错误、C正确；若将C点稍向上移动，两条绳子之间的夹角增大，绳子对滑轮的作用力将减小，D错误。

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