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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 满足 + 2 = 3 + ( 为虚数单位)，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .向量 = ( + , ), = ( + , )，若 // ，则
角 的大小为( )
A. B. 2 6 3 C. 2 D. 3
3.已知菱形 边长为 2，∠ = 60°，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
4.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为 2的等腰梯形
′ ′ ′，则原梯形面积为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2
5.以长为 4 ，宽为 3 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为( )
A. 16 2，或 24 2 B. 16 2
C. 24 2，或 42 2 D. 24 2
6.在△ 2 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = ，且 = 5，则∠ =( )
A. B. C. 3 D. 2 5 10 10 5
7 2 .已知直三棱柱 1 1 1中，∠ = 3， = = 2， 1 = 1， 是 1 1的中点，则异面直线 1
与 所成角的余弦值为( )
A. 5 B. 2 5 10 155 5 C. 5 D. 5
8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天
池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
( )( 1注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式 = 3 ( 上 +
上 下 + 下) )
A. 2 寸 B. 3 寸 C. 4 寸 D. 5 寸
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
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A.棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边
形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多
面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体 的棱长为 3，取各条棱的三等分点，
截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体( )
A.共有 18 个顶点
B.共有 36 条棱
C.表面积为 6 + 8 3
D.与正八面体 的体积之比为 8：9
11.已知△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，下列四个命题中，正确的命题是( )
A.若 = 2 ，则△ 一定是等腰三角形
B.若( 2 + 2)sin( ) = ( 2 2)sin( + )，则△ 是等腰或直角三角形
2
C. 若 2 = ，则△ 一定是等腰三角形
D.若 2 = + ，且 2 2 8 + 5 = 0，则△ 是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 1)， = ( , 1)，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是______．
13.如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形， 为 的中点， 在 上， =
，若 //平面 ，则 的值为______．
14.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 = 7， 是边 的中点， ⊥ ，且 ( +
) = ( + )( )，则 的长为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且2 = ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 1，△ 的面积 △ = 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知向量 与 的夹角为 45°，且| | = 1，|2 | = 10．
(1)求| |的值；
(2)在三角形 中， = ， = ，且 = 2 ，求 ．
17.(本小题 15 分)
△ + 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 = ．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形， = 3，求 2 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
在如图所示的几何体中，四边形 为矩形， ⊥平面 ， // ，且 = = 2 = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
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19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， = = 1， + = = 3， // ， ⊥ ， 在线段 上(不
含端点)， ⊥底面 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2)设 = , ∈ (1, 3)，请写出三棱锥 的体积 关于 的函数表达式，并求出 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 2) ∪ ( 2, 12 )
13.3
14. 212
15.(1) 解：因为2 = ，可得 = 2 ，
即 + = 2 ，
由正弦定理得 + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
又因为 + = ，可得 sin( + ) = ，所以 = 2 ，
因为 ∈ (0, )，可得 > 0，所以 = 12，

又因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2) 1解：因为△ 的面积 △ = 3，可得2 = 3，可得 = 4，
又因为 = 1，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得 2 + 2 = 1，所以 2 + 2 = 5，
则( + )2 = 2 + 2 + 2 = 5 + 2 × 4 = 13，所以 + = 13，
所以△ 的周长为 + + = 13 + 1．
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16.解：(1)已知向量 与 的夹角为 45°，且| | = 1，|2 | = 10，
则 4 2 4 +
2
= 10，
2
则 4 4 × 1 × 2 |2
| + = 10，
2即 2 2| | 6 = 0，
又| | > 0，
即| | = 3 2；
(2)由(1)得 = 1 × 3 2 × 22 = 3，
= ( + ) = [ + 2 ( )] ( ) = ( 1 + 2 ) (
2
3 3 3
) = 2 3

1
2
3
1 = 2 × 18 1 × 1 1 323 3 3 3 × 3 = 3．
17. + 解：(1)因为 2 = ，
( 则 2 ) = ，
= 2 cos 故 2 2 2 ，
在△ 中，0 < < ，0 < < ，

所以 0 < 2 < 2，
则 ≠ 0，cos 2 ≠ 0，
可得 sin 2 =
1
2，

所以2 =

6，

所以 = 3．
(2) 3由正弦定理可得 2 = = = = 3 = 2，
2
所以 = 2 ， = 2 ，
所以 2 = 4 2 ( 2 3 ) = 3 3 = 2 3sin(

6 )，
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
则 ，
0 < 2 3 < 2
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解得6 < < 2，
则 6 ∈ (0, 3 )，
即 sin( ) ∈ (0, 36 2 )，
故 2 ∈ (0,3)，
即 2 的取值范围为(0,3)．
18.解：(1)证明：∵四边形 是矩形，
∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴平面 //平面 ，
又 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
在矩形 中， ⊥ ，
又∵ ∩ = ， ， 平面
∴ ⊥平面 ．
又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(3) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
又 ⊥ ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
则 为三棱锥 的高，且 = 1．
∵ = = 2，
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∴ 1△ = 2 × 2 × 2 = 2，
∴ = =
1 1 2
3 △ = 3 × 2 × 1 = 3．
19.
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