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专题突破4　解决动态平衡问题的方法与平衡中的临界、极值问题
【目标任务】
1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。
【能力特训】
素能提优一　解决动态平衡问题的三种方法(逐点突破类)
1.如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中 (　　)
A.MN上的张力逐渐减小
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
方法一　图解法
常用于处理三个共点力作用下的动态平衡问题，特别是其中一个力的大小、方向均不变，而另外两个力在特定约束下变化时。应用时应先画好受力分析图，然后根据平衡条件和力的变化特点作出相应的动态平行四边形或三角形，从边长的动态变化规律就可以看出力的变化规律，简捷高效。
2.质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是 (　　)
A.推力F先增大后减小
B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C.墙面对凹槽的压力先增大后减小
D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
方法二　解析法
常用于处理三个或多个共点力作用下的动态平衡问题，特别是物体所受各力的变化情况比较复杂，相互制约。应用时首先要分清哪些力是变化的，哪些力是恒定的，并正确引入参数变量(如角度、长度等)，然后利用力的平衡条件和几何关系，写出力与参数变量之间的数学函数关系，即可确定未知力的变化情况。
3.如图所示，质量分布均匀的细杆中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端。用FN表示铰链对杆的作用力。在水平外力F作用下，杆与竖直方向的夹角θ从缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.F逐渐变小，FN大小不变
B.F逐渐变小，FN逐渐变大
C.F先变小再变大，FN逐渐变小
D.F先变小再变大，FN逐渐变大
方法三　相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何三角形中有两个边大小不变，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
素能提优二　求解平衡中的临界和极值问题的三种方法(综合提升类)
1.临界问题
某物理量发生变化，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。如：两物体刚要分离的临界条件是物体间的弹力为零；物体间刚要发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
2.极值问题
平衡中的极值问题一般是指在力的变化过程中出现的“最大值”和“最小值”问题，分析的关键是找出出现极值时的情景和条件。如：利用极限法将某个变量推向极端(“极大”“极小”等)，从而把隐蔽的临界情景暴露出来；利用数学函数思想寻找极值条件，并确定相应极值等。
解决平衡中的临界和极值问题通常有以下三种方法。
方法一　数学分析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(1)利用二次函数求极值。若物理量y与x的函数形如y=ax2+bx+c，则当x=-时，y有极值，为y=，若a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值。
(2)利用不等式的性质求极值。若物理量a与b满足a>0、b>0，则a+b≥2，且a=b时取等号，即a、b的和一定时，积有最大值；a、b的积一定时，和有最小值。
(3)利用三角函数求极值。若物理量y与角度θ满足y=asin θ+bcos θ，则y≤，令tan φ=，则当θ+φ=时，y有极大值。
(4)利用导数求极值。若物理量y与x的函数为y=f(x)，则根据f'(x)=0可确定y取极值时x的值，然后代入函数y=f(x)可确定y的极值。
方法二　图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
方法三　极限法
首先正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极限，即极大或极小。
典例 如图所示，在倾角θ=37°的斜面上有一木箱，木箱与斜面之间的动摩擦因数μ=。现对木箱施加一拉力F，使木箱沿着斜面向上做匀速直线运动。设F的方向与斜面的夹角为α，在α从0°逐渐增大到53°的过程中，木箱的速度保持不变，则 (　　)
A.F先减小后增大 B.F先增大后减小
C.F一直增大 D.F一直减小
①审题关键点：在α从0°逐渐增大到53°的过程中，木箱的速度保持不变。
②解题切入点：当拉力F变化时，对沿斜面方向和垂直斜面方向的受力都有影响，为综合考虑力的效果，可利用平衡条件列出F与α的函数关系式，分析力F的变化情况。
对点特训
1.(多选)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且与O点相连的细线与竖直方向的夹角保持θ=30°不变，重力加速度为g，以下说法正确的是 (　　)
A.F的最小值为mg
B.F的最小值为
C.当F取值最小时，细线Oa上的拉力大小为mg
D.当F取值最小时，细线Oa上的拉力大小为
2.(2024·福建模拟)课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图示(截面图)方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为 (　　)
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°
参考答案
能力特训
素能提优一
1.D　解析：重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用。缓慢拉起过程中任一时刻可认为重物处于平衡状态，三力的合力恒为0。如图所示，由三角形定则得一首尾相接的矢量三角形，由于α>且不变，则三角形中FMN与FOM的交点在一个优弧上移动，由图可以看出，在OM由竖直被拉到水平的过程中，绳MN中拉力一直增大，OM水平时FMN恰好达到最大值，绳OM中拉力先增大后减小，D正确，A、B、C错误。
2.C　解析：如图所示，设F与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件有mgcos α=F，mgsin α=N，小滑块从A点运动到B点的过程中，α从逐渐减小到0，可知F逐渐增大，N逐渐减小，A、B错误；将两物体看成整体，整体受水平向左的作用力F'=Fsin α=mgcos αsin α=mgsin 2α，因为0≤2α≤π，根据函数单调性可知sin 2α先增大后减小，则F'先增大后减小，根据牛顿第三定律知墙面对凹槽的压力先增大后减小，C正确；对凹槽进行受力分析可知，水平地面对凹槽的支持力N1=Mg+N'sin α，根据牛顿第三定律知N'=N，则地面对凹槽的作用力N1=Mg+mgsin2α，由α逐渐减小，可知水平地面对凹槽的支持力逐渐减小，D错误。
3.A　解析：细杆质量分布均匀，重心在O点，对细杆进行分析如图所示，令杆长为L，O1与O2间距为h，O2左侧绳长为x，根据相似三角形有==，在θ从缓慢减小到0的过程中，左侧绳长x减小，可知，F逐渐变小，FN大小不变，A正确。
素能提优二
典例　A　解析：对木箱受力分析，如图所示。木箱沿着斜面向上做匀速直线运动，根据平衡条件可知，在平行斜面方向上，有Fcos α-mgsin 37°-f=0，在垂直斜面方向上，有Fsin α+N-mgcos 37°=0，其中f=μN，联立解得F==，故当α=30°时，拉力F最小，即α从0°逐渐增大到53°的过程中，F先减小后增大，A正确。
对点特训
1.AC　解析：以a、b为整体，整体受重力2mg、细线Oa上的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，在三力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线拉力FT时F有最小值，根据平衡条件有F=2mgsin 30°=mg，细线Oa上的拉力FT=2mgcos 30°=mg，A、C正确。
2.A　解析：当最上面积木的重心与左下方积木的重心在同一竖直线上时，最上面积木将要滚动，此时木板与水平面夹角θ达到最大，由几何关系易知，θ的最大值为30°，A正确。

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