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2024-2025学年湖南省娄底一中高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知复数 满足1 = 2 + ，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 .扇形的半径为 2，圆心角为3，则此扇形弧长为( )
A. 6 B.

3 C.
D. 2 2 3
3.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )
A.圆柱 B.圆台 C.圆锥 D.棱柱
4.已知函数 ( )的周期为 2 ，且在(0, )上单调递增，则 ( )可以是( )
A. ( ) = B. ( ) = |sin 2 | C. ( ) = 2 D. ( ) = 2
5.下列说法正确的是( )
A.数据 1，8，3，5，6 的第 60 百分位数是 5
B.若一组样本数据 4，6，7，8，9， 的平均数为 7，则 = 7
C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D.若 1， 2， ， 10的标准差为 4，则 2 1 + 3， 2 2 + 3， 2 3 + 3，…， 2 10 + 3 的标准差是 8
6.在△ 中，已知 ， 是关于 的方程 2 + ( + 1) + 1 = 0 的两个实根，则 =( )
A. B. 6 4 C.
2
3 D.
3
4
7.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1和 1的中点，记 1 1 1 和 1 1 1的体
积分别为 1， 2，则( )
A. = 11 3 2
B. 11 = 6 2
C. 11 = 4 2
D. 31 = 8 2
8.已知向量 , 满足：| | = | | = 2，且 = 2，若 = + ，其中 > 0， > 0 且 + = 2，则| |的
最小值为( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 2 3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应点为 ，则下列说法正确的是( )
A.若 ( 1) = 3 1，则点 在第二象限
B.若 为纯虚数，则点 在虚轴上
C.若| | ≤ 3，则点 的集合所组成的图形面积为 9
D.若| | = 1 + 1，则 为实数
10 2 .已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 4，且 = ，则( )
A. = 2 3 B. △
4 3
的外接圆半径为 3
C.若 = 2 ，则△ 8 3的面积为 3 D. 边上中线 的最大值为 4
11 2
2+
.函数 ( ) = 2 +1 为奇函数，函数 ( ) = 2(16
2) 4 4 + ( )
A.实数的值 的值为 2
B.函数 ( )为 上的单调递增函数
C.不等式 (4 ) + ( 2 +2 5) > 0 的解集为(log25, + ∞)
D.若对 1 ∈
1
，总 2 ∈ [ 2 , 16]，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数 的取值范围是[ 11,3]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (1,2)与 = ( 2, )垂直，则实数 的值为______．
13.将函数 ( ) = 2 ( + 3 )( > 0)

的图象向左平移6个单位，得到函数 ( ).图象，若函数 ( )为奇函数，
则 的最小值是______．
14.在三棱锥 中， ⊥ ，点 在底面的投影 为△ 的外心，若 = 4， = 3， = 5，则
三棱锥 的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛.该校将经过初选脱颖而出的 10 名学
生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的 5 名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，
将每个同学做对题目的个数统计如下表：
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甲组 5 5 6 9 10
乙组 5 6 7 8 9
(1)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平；
(2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过 7 个的同学中随机抽取 2 名学生，若两人做对题目
的个数之和不少于 19 个，则授予该校获得科学教育先进校称号.求该校获得科学教育先进校的概率．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( + , 3 )， = ( , 2 )，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的周期和单调递增区间；
(3) ∈ (0, 若 4 )，求函数 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = = = 2，四边形 为正方形， ，
分别为 、 的中点．
(1)直接写出图中与 平行的平面；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得平面 ⊥平面 ？若存在，求三棱锥 体积；若不存在，说
明理由．
18.(本小题 17 分)
已知△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 3 = ．
(1) 是边 上的中线， = 2，且 2 + 2 = 10，求 的长度．
(2)若△ 为锐角三角形，且 = 2，求△ 面积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
若函数 = ( )的定义域为 ，且存在实数 ，使得对于定义域内任意 ，都有 ( ) = ( )成立，则称
函数 ( )具有“性质 ( )”．
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(1)判断函数 = | + 1|是否具有“性质 ( )”，若具有“性质 ( )”，求出实数 的值，若不具有“性质
( )”，请说明理由；
(2)已知函数 = ( )具有“性质 (2)”，且当 ≥ 1 时， ( ) = log ，求函数 = ( )在区间[0,1]上的值
域；
(3) 已知函数 = ( )既具有“性质 (0)”，又具有“性质 (2)”，且当 0 ≤ ≤ 1 时， ( ) = sin( 2 )，若
函数 = ( )的图像与直线 = + 1 有 2025 个公共点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.1
14.62516
15.(1)依题中的数据可得：甲组做对题目为：5，5，6，9，10；
乙组做对题目为：5，6，7，8，9，

甲 =
1
5 (5 + 5 + 6 + 9 + 10) = 7， =
1
乙 5 (5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 7，
2 = 15 [(5 7)
2 + (5 7)2 + (6 7)2 + (9 7)2 + (10 7)2] = 225 = 4.4，甲
2 = 15 [(5 7)
2 + (6 7)2 + (7 7)2 + (8 7)2 + (9 7)2] = 2，
乙

∵ 甲 =
2
乙， >
2 ，
甲 乙
∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大．
(2)学校将从甲、乙两组中做对题目超过 7 个的同学中随机抽取 2 名学生，两人做对题目的个数之和不少于
19 个，则授予该校获得科学教育先进校称号，
将从甲、乙两组中做对题目超过 7 个的同学共有四个，记四名同学为 ， ， ， ，他们对应的分数为 8，9，
9，10，
样本空间为 = {{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }，{ , }}，共包含 6 个样本点，
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若两人做对题目的个数之和不少于 19 个，则对应的样本点共 2 个，即为：{ , }，{ , }，
2 1
故所求为 = 6 = 3．
16.(1) = ( + , 3 )， = ( , 2 )，函数 ( ) = ，
依题意， ( ) = cos2 sin2 + 2 3 = 2 + 3 2 = 2 (2 + 6 )．
(2)函数 ( ) 2 的周期 = 2 = ；
由 2 + 2 ≤ 2 +

6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，得 3 + ≤ ≤ 6 + ， ∈ ，

所以函数 ( )的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]( ∈ )．
(3)由 ∈ (0, 4 )，得 2 +
∈ ( , 2 ) sin(2 + 6 6 3 ，则 6 ) ∈ (
1
2 , 1],
因此 ( ) ∈ (1,2]，
所以函数 ( )在(0, 4 )上的值域为(1,2]．
17.(1)解：∵四边形 为正方形， ， 分别为 、 的中点．
∴ = = = ， // ， // ，
∴四边形 和四边形 均为平行四边形，
∴ // ， // ，
∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ， //平面 ；
(2)证明：∵四边形 为正方形，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(3)解：存在，当 为 中点时，平面 ⊥平面 ．
证明：连接 ， ， ， ，设 ∩ = ，
∵四边形 为正方形， ， 分别为 、 的中点，
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∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形， = ．
∵ 为 中点，∴ // ．
∵ = = = 2， 为 的中点，
∴ ⊥ ， = 3， = 3．2
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ．
又∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
∴存在点 ，使得平面 ⊥平面 ．
1 1 3
则 三棱锥 = 三棱锥 = 3 × 2 × 2 × 1 × 2 =
3
．
6
18.解：(1)因为 3 = ，由正弦定理得： 3 = ，
在△ 中， > 0，
可得 3 = 1，即 sin( 6 ) =
1
2，
由 ∈ (0, )，

所以 6 = 6，
解得 = 3；
因为 为 的中点， = 2，且 2 + 2 = 10，
则 2 = + ，
2
两边平方可得 4 =
2 2
+ + 2 = 2 + 2 + 2 ，
即 4 × 4 = 10 + ，
可得 = 6，
由余弦定理可得 = = 2 + 2 2 = 10 2 × 6 × 12 = 2；
(2) △ 为锐角三角形，且 = 2，
= 12 =
1
2 2
3 = 32 2 ，

由正弦定理可得 = ，

=
sin( + )
可得 =
sin( + )
2 =
3 3
2 = + 1，
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0 < < 3
因为 2 ，可得6 < < 2，0 < = 3 < 2
可得 > 33 ，
3
所以 + 1 ∈ (1,4)，
所以 ∈ ( 32 , 2 3).
所以△ 3面积的取值范围为( 2 , 2 3).
19.(1)函数 = | + 1|具有“性质 ( )”，
设 ( ) = | + 1|，
则 ( ) = | + 1| = | + 1| = ( )，
故| + 1|2 = | + 1|2，
则( + 1)2 2( + 1) + 2 = 2 + 2 + 1，
则( + 1)2 2( + 1) = 2 + 1，
( + 1)2 = 1， 2( + 1) = 2，解得 = 2，
故函数 = | + 1|具有“性质 ( )”， = 2；
(2)因为函数 = ( )具有“性质 (2)”，
则 (2 ) = ( )，
当 ∈ [0,1]时，2 ∈ [1,2]，
又当 ≥ 1 时， ( ) = log ，
可得 ∈ [0,1]时， ( ) = (2 ) = log (2 )，
当 > 1 时， ( ) ∈ [0, log 2]；
当 0 < < 1 时， ( ) ∈ [log 2,0]；
(3)函数 = ( )既具有“性质 (0)”，又具有“性质 (2)”，
即 (0 ) = ( )，且 (2 ) = ( )，
即函数为偶函数且关于直线 = 1 对称，
则 (2 + ) = ( ) = ( )，
故 ( )的周期为 2；
又因为当 0 ≤ ≤ 1 时， ( ) = sin( 2 )，
可得函数图象如图：
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直线 = + 过点(0,1)，
当 = 0 时，函数 = ( )的图象与直线 = + 1 有无数个公共点，不合题意；
当 < 0 时，要使函数 = ( )的图象与直线 = + 1 有 2025 个公共点，
则直线 = + 1 和 ( )的在[0,2024]内的每个周期内图象都有 2 个交点，
且 轴左侧无交点，第 2025 个公共点位于 ( )第 1013 个周期内的区间[2024,2025]上的图象上，
1
当直线 = + 过点(2024,0)时， = 2024；
当直线 = + 1过点(2026,0)时， = 2026；
则符合题意的 需满足 12024 < <
1
2026；
1
同理，结合图象的对称性可得当 > 0 时，需满足2026 < <
1
2024，
( 1即实数 的取值范围为 2024 ,
1
2026 ) ∪ (
1 1
2026 , 2024 ).
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