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2024-2025 学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.设集合 = { | 2 ≤ 4}， = { | ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. [ 2,2] B. {2} C. (0,2] D. ( ∞,2]
2.命题“ < 0，使得 + 2 > 2 ”的否定为( )
A. < 0， + 2 > 2 B. ≥ 0，使得 + 2 > 2
C. < 0， + 2 ≤ 2 D. ≥ 0，使得 + 2 ≤ 2
3.下列命题中正确的个数为( )
①若 < < 0，则 > 2
> > 0 > ②若 ，则
③命题“ > 0，2 ≥ 2”的否定是“ > 0，2 < 2”
④“三个连续自然数的乘积是 6 的倍数”是存在量词命题
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.下列命题是真命题的是( )
A.若 > ，则 > B.若 2 > 2，则 >
C.若 > 1 1，则 < D.若 > ， > ，则 >
5 ( ) = 1 + .已知函数 1 + 1+
1
+1，则“ ( )是奇函数”是“ = 0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.一次函数 = + ， < 0， > 0，则其大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
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7.碳 14 是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳 14 含量大致不变，当生物死亡后，其组
织内的碳 14 开始衰变并逐渐消失.已知碳 14 的半衰期为 5730 年，即生物死亡 年后，碳 14 所剩质量 ( ) =

0(
1 )5730，其中 0为活体组织中碳 14 的质量.科学家一般利用碳 14 这一特性测定生物死亡年代. 2023 年科2
学家发现某生物遗体中碳 14 含量约为原始质量的 0.8 倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间
轴可推断该生物死亡的朝代为( )(参考数据： 2 ≈ 0.3010)
A.西汉 B.东汉 C.三国 D.晋朝
+ 8.双曲余弦函数 = 2 是高等数学中重要的函数之一．定义在 上的函数 ( + 1)的图像关于点(
1,1)对称，且当 ≥ 0 时， ( ) = ，则不等式 ( + 1) + (2 3) > 2 的解集为( )
A. ( 23 , + ∞) B. (
1
2 , + ∞) C. (
3
2 , + ∞) D. (2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = log212， = log318，则( )
A. < B. ( 2)( 2) = 1
C. + < 7 D. > 9
10 ( ) = | |+2.已知函数 1 | |，以下说法正确的是( )
A. ( )是偶函数
B.函数 ( )的值域为( ∞, 1) ∪ [2，+∞)
C. ( )在(0,1)上单调递减
D. ( )在( ∞, 1)上单调递增
11.若函数 ( ) = sin| | 2 ，则下列选项正确的是( )
A. ( )是周期函数 B. ( )在[ , ]上有 4 个零点
C. ( )在 0, 2 上是增函数 D. ( )的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设命题 ：已知 > 0， > 0，且 + = ，不等式 + ≥ 2 5 2 恒成立，命题 ：存在 ∈ [ 1,1]，
使得不等式 2 2 + 1 ≤ 0 成立，若命题 、 中有一个为真命题，一个为假命题，则实数 的取值范
围是______．
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13.几位同学在研究函数 ( ) = 1+| | ( ∈ )时给出了下面几个结论：
①函数 ( )的值域为( 1,1)；
②存在 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)；
③ ( )在(0, + ∞)是增函数；

④若规定 1( ) = ( )，且对任意正整数 都有： +1( ) = ( ( ))，则 ( ) = 1+ | |对任意 ∈ 恒成立．
上述结论中正确结论的序号为______．
14.已知平面向量 = (1, ), = (2 + 3, ), ∈ ，若 ⊥ ，则实数 的值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设集合 = { | 1 < < 3}，集合 = { |2 < < 2 + }．
(1)若 = 2，求 ∪ 和 ∩ ；
(2)设命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知实数 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = log ( + 1)， ( ) = 1( )．

(1)已知 ( 2 1) = 12， (1) = 1，求实数 ， 的值．
(2)当 = 1 时，用定义法判断函数 ( ) = ( ) + ( )的奇偶性．
(3)当 = 5 时，利用对数函数单调性讨论不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集．
17.(本小题 15 分)
某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又需可变成本(即需另增加投
入)0.25 1万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入(单位：万元)的函数为 = 5 22 (0 ≤ ≤ 5)，
其中 是产品生产并售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为产量的函数；
(2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)；
(3)产量为多少时，企业所得利润最大？
18.(本小题 17 分)
( )
若函数 ( ) = 2 2 + 7 + 2 + ( > 0)在区间[ 1,0]上有最大值 8 和最小值 3，设 ( ) = ( ≠ 0)．
(1)求 ， 的值；
(2)若不等式 (2 ) 2 ≥ 0 在 ∈ [0,2]上有解，求实数 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 1， ( ) = 2 2 | | + ．
(1)求关于 的不等式 ( ) + 3 < 4 + 3 1 解集；
(2)若 = 1，求 ( )在 ∈ [ 2,2]上的值域；
(3)设 ( ) = ( ) ( )，记 ( )的最小值为 ( )，求 ( )的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 1) ∪ (2,6]
13.①③④
14. = 1 或 = 3
15.解：(1)因为 = 2，所以 = { |0 < < 4}，
所以 ∪ = { | 1 < < 4}， = { |0 < < 3}；
(2)因为 是 成立的必要不充分条件，所以 ，
当 = 时，2 ≥ 2 + ，得 ≤ 0；
2 < 2 +
当 ≠ 时，则 2 ≥ 1 ，等号不能同时取到，
2 + ≤ 3
解得 0 < ≤ 1，
综上，实数 的取值范围是 ≤ 1，即为( ∞,1]．
16.解：(1)(1)因为 (1) = 1，即log (1 + 1) = 1，
解得 = 2，则 ( ) = 1( )，
2
又因为 (1) = 1( 1) = 1，
2
解得 = 32．
(2)当 = 1 时， ( ) = ( ) + ( ) = ( + 1) +
1+
1(1 ) = 1 ，
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函数 ( ) 1 定义域为( 1,1), ( ) = 1+ =
1+
1 = ( )，
所以函数 ( )为奇函数．
(3)当 = 5，则 ( ) = 1(5 ) = (5 )，

由 ( ) + ( ) ≥ 0 ( ) ≥ ( )即log ( + 1) ≥ log (5 )①，
+ 1 > 0
当 0 < < 1 时，要使不等式①成立，则 5 > 0 ，
+ 1 ≤ 5
解得 1 < ≤ 2．
+ 1 > 0
当 > 1 时，要使不等式①成立，则 5 > 0 ，
+ 1 ≥ 5
解得 2 ≤ < 5，
综上所述：当 0 < < 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集为( 1,2].当 > 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解
集为[2,5)．
17.解：(1) 1设利润为 万元，当 0 ≤ ≤ 5 时， = 5 2
2 0.25 0.5，
1
当 > 5 时， = 5 × 5 2 × 5
2 0.25 0.5 = 12 14 ，
1 2 + 19 1 (0 ≤ ≤ 5)
故 = 2 4 2
12 1
；
4 ( > 5)
(2)要使企业不亏本，则 ≥ 0．
0 ≤ ≤ 5 > 5
即 1 2 + 4.75 0.5 ≥ 0或 12 0.25 ≥ 0，解得 0.11 ≤ ≤ 5 或 5 < ≤ 48，即 0.11 ≤ ≤ 48．2
即年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本．
(3)显然当 0 ≤ ≤ 5 时，企业会获得最大利润，
1
此时， = 2 ( 4.75)
2 + 10.78125，
∴ = 4.75，即年产量为 475 台时，企业所得利润最大．
18.解：(1)函数 ( ) = 2 2 + 7 + 2 + ( > 0) = 7关于 4对称，
若 ( )在区间[ 1,0]上单调递增，
( 1) = 2 7 + 2 + = 3
则 (0) = 2 + = 8 ，解得 = 1， = 6；
(2)由(1)可得 ( ) = 2 2 + 7 + 8， ( ) = ( ) = 2 +
8
+ 7，
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2×2 + 8
不等式 (2 ) 2 ≥ 0 (2 )等价于 ≤ = 2
+7
2 2 = 8 (
1 )22 + 7
1
2 + 2，
令 = 12 ∈ [
1 2
4 , 1]，可得 ≤ 8 + 7 + 2，
不等式 (2 ) 2 ≥ 0 在 ∈ [0,2]上有解等价为 ≤ (8 2 + 7 + 2) , ∈ [
1
4 , 1]；
1
由二次函数性质可得 = 8 2 + 7 + 2 在[ 4 , 1]上单调递增，
所以 = 17，因此 ≤ 17．
即可得实数 的取值范围为( ∞,17]．
19.解：(1)不等式可化为 2 + ( 1) < 0，
即( + )( 1) < 0，
当 < 1 时，解得 1 < < ，
当 > 1 时，解得 < < 1，
当 = 1 时，无解，
综上所述，当 < 1 时，解集为{ |1 < < }；
当 > 1 时，解集为{ | < < 1}；
当 = 1 时，解集为 ；
2
(2) ( ) = 2 2 | 1| + = 2 + 1, ≥ 1
2 2
，
+ 2 1, < 1
当 ∈ [ 2,1)， ( ) = 2 2 + 2 1，
1
因为 ( )在[ 2, 2 ) (
1
单调递减，在 2 , 1)
1 3
单调递增，且 ( 2 ) = 2 , ( 2) = 3，
( ) 3所以函数 在 ∈ [ 2,1)上值域为[ 2 , 3]，
当 ∈ [1,2]， ( ) = 2 2 + 1， ( )在[1,2]单调递增，
又因为 (1) = 3， (2) = 9，
所以函数 ( )在 ∈ [1,2]上值域为[3,9]，
3
综上所述，函数 ( )在 ∈ [ 2,2]上值域为[ 2 , 9]；
2
(3) ( ) = + 1, ≥ 由题意可知， 2 ， + 1, <
< 1 1 1①当 2时，函数 ( )在( ∞, 2 )单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
( ) ( 1 5函数 的最小值为 2 ) = 4 ；
1 ≤ ≤ 1②当 2 2时，函数 ( )在( ∞, ]单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
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所以函数 ( )的最小值为 ( ) = 2 1；
> 1 1 1③当 2时，函数 ( )在( ∞, 2 ]单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
( ) ( 1 ) = 5故函数 的最小值为 2 4，
54 , ≤
1
2
综上所述， ( ) = 2 1, 1 12 < ≤ 2，
54+ , >
1
2
1 5 3
当 ≤ 2时，函数 ( )的最小值为 4 ，此时 ( ) ≥ 4；
当 12 < ≤
1
2时，函数 ( )的最小值为
2 1，此时 ( ) ≥ 1；
1 5 3
当 > 2时，函数 ( )的最小值为 4 + ，此时 ( ) ≥ 4，
综上所述， ( )的最小值为 1．
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