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2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学
九年级（上）开学数学试卷
一、选择题
1. 在中，，若，则sinC=（ ）
A B. C. D.
2. 抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（ ）
A. (0，﹣9) B. (﹣3，0) C. (﹣9，0) D. (3，0)
3. 下列说法中不正确的是（ ）．
A. 矩形的对角线互相垂直且相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等
4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0
5. 如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 比是（　　）
A. 3：2 B. 3：5 C. 9：16 D. 9：4
6. 中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x+1）＝2450 B. x（x﹣1）＝2450
C. 2x（x﹣1）＝2450 D. x（x﹣1）＝2450
7. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
8. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A B. C. D.
9. 在一个不透明布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A. 11 B. 13 C. 24 D. 30
10. 如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ，之间（包含端点），下列结论正确的是（ ）
①；② ；③；④；⑤对于任意都有 ．
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ②④ D. ②④⑤
二、填空题
11. 若，则=______
12. 不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____．
13. 如图，利用标杆BE测量建筑物高度．已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝6m，则建筑物CD的高是_____m．
14. 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．
15. 如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB经过原点，点D在y轴上，若BD＝4CD，△OBD的面积为15，则k的值为_____．
三、解答题
16. 计算：2cos30°+|﹣2|﹣（π﹣2020）0﹣（）﹣1．
17. 解方程：
（1）
（2）．
18. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，我校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为　 　人，扇形统计图中A部分的圆心角是　 　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？
（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）
19. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大利润是多少？
20. 如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
21. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
22. 如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学
九年级（上）开学数学试卷
一、选择题
1. 在中，，若，则sinC=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（ ）
A. (0，﹣9) B. (﹣3，0) C. (﹣9，0) D. (3，0)
【答案】A
3. 下列说法中不正确的是（ ）．
A. 矩形的对角线互相垂直且相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线相等
【答案】A
4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0
【答案】A
5. 如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）
A. 3：2 B. 3：5 C. 9：16 D. 9：4
【答案】B
6. 中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x+1）＝2450 B. x（x﹣1）＝2450
C. 2x（x﹣1）＝2450 D. x（x﹣1）＝2450
【答案】D
7. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
8. 函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A. 11 B. 13 C. 24 D. 30
【答案】B
10. 如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ，之间（包含端点），下列结论正确的是（ ）
①；② ；③；④；⑤对于任意都有 ．
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ②④ D. ②④⑤
【答案】D
二、填空题
11. 若，则=______
【答案】．
12. 不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____．
【答案】
13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝6m，则建筑物CD的高是_____m．
【答案】6
14. 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．
【答案】
15. 如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB经过原点，点D在y轴上，若BD＝4CD，△OBD的面积为15，则k的值为_____．
【答案】-6
三、解答题
16. 计算：2cos30°+|﹣2|﹣（π﹣2020）0﹣（）﹣1．
【答案】-2．
解：原式＝2×+2﹣﹣1﹣3，
＝+2﹣﹣1﹣3，
＝﹣2．
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），；（2），
（1）
解得
（2）
解得
18. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，我校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为　 　人，扇形统计图中A部分的圆心角是　 　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？
（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）
【答案】（1）60，36；（2）见解析；（3）80；（4），见解析
解：
（1）由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有24人，占调查总人数的40％，
所以调查总人数：24÷40％=60，
图中A部分的圆心角为：=36°；
故答案为：60、36；
（2）B课程的人数为60﹣（6+18+24）＝12（人），
补全图形如下：
（3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400×＝80（人）；
（4）画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，
∴他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是＝；
19. 商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2x；（60﹣x）；
（2）每件商品降价10元时，商场日盈利可达到最大5000元．
【1】
解：由题意，可得商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（60﹣x）元．
故答案：2x；（60﹣x）；
2】
设商场日盈利为w元，
则w＝（60﹣x）（80+2x）
，
当x＝10时，w取得最大值5000，
答：每件商品降价10元时，商场日盈利可达到最大5000元．
20. 如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解：（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，
∵∠CAM＝30°∠CBM＝60°，
∴AM＝x，BC＝x，BM＝x，
由题意知：x﹣x＝×40，即x﹣x＝20，
解得：x＝10（海里），
∴BC＝×10＝20＞18，
∴点B在暗礁区域之外；
（2）由（1）知：CM＝x＝10≈17.32＜18，
故继续向东航行有触礁的危险．
21. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
【答案】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90 ，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90 ，
∴∠E+∠ABD=90 ，
∴∠EGB=90 ，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90 ，
∴∠DAG+∠DAH=90 ，
∴∠HAG=90 ，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
22. 如下图所示，已知抛物线与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线BC的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【1】
解：将 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
；
【2】
过点M作轴交BC于D，交OB于E，过C作于F，
为矩形，
，
设直线BC的解析式为： ，
将点（0，4）、（4，0）代入得： ，
解得： ，
则直线BC的解析式为： ，
设 ，则 ，
，
，
，
∵点M在直线BC的上方，
，
∴当 时，最大，此时，
∴ ；
【3】
由（2）得：，
点M在直线BC的上方，
，
，
四边形ABMC的面积= ，
则由题意得：，
解得： 或 ，
当时，，
当时，，
或 ．

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