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2024-2025学年山东省东营市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，线段是函数的图像，则( )
A.
B.
C.
D.
3.若数列，，，，是等比数列，则是( )
A. B. C. D.
4.为了解某校学生体重单位：的大致情况，随机抽取了名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为( )
A. B. C. D.
5.名同学分成两组参加志愿服务活动，其中甲、乙不同组的分法种数为( )
A. B. C. D.
6.设随机变量服从标准正态分布已知，则( )
A. B. C. D.
7.袋中有个白球，个红球，从中随机连续抽取次，每次取一个球若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，则的方差为( )
A. B. C. D.
8.某区块链公司开发了一种“分形存储”技术当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码已知数据块大小单位：按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为，此后每个数据块比前一个数据块减少验证码数量单位：个按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的倍若系统要求总验证码数量不能超过个，用户上传的大型文件最大为参考数据：，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导数错误的是( )
A. B.
C. D.
10.立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 图中的值为 B. 这组数据的极差为
C. 得分在分及以上的人数为 D. 这组数据的平均数的估计值为
11.已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是( )
A. 若为单调递增数列，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则且
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.的二项展开式中项的系数为 ．
13.对任意，函数不存在极值点的充要条件是______．
14.一个箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球个，黄色小球个，蓝色小球个，绿色小球个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为，则 ______，数学期望 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示．
第年
利润亿元
计算出与之间的相关系数精确到，并求出关于的回归直线方程；
根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润．
参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，．
16.本小题分
已知等差数列满足公差，，等比数列的首项，公比为．
求数列，的通项公式；
数列的前项和为，记数列的前项和为，求．
17.本小题分
已知，函数．
当时，求函数在点的切线方程；
若，
求；
求证：对，都有．
18.本小题分
已知数列满足，，，，．
求数列的通项公式；
设，求的前项和；
若对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
某无人机操作员进行定点精准降落训练据以往训练经验，第一次降落成功的概率为若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中．
求该操作员第二次降落成功的概率；
记该操作员前两次降落成功的次数为，求的分布列和数学期望；
设第次降落成功的概率为，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意可知，，，
，
因此，
，，
故回归直线方程为；
在回归直线方程中令，得，
令，得，
因此预测第、年的利润约为亿元、亿元．
16.等差数列满足公差，
由，，可得，
，
解得，，
可得；
由等比数列的首项，公比为，
得．
由等差数列的求和公式可得，，
，
，
两式相减得
，
故．
17.函数的定义域为．
当时，，，，，
所以所求切线方程为，即．
解法一：因为，该函数的定义域为，且，
当时，，
则在上单调递增，且，
当时，，不合乎题意；
当时，令，得，
令，得．
所以，函数在上单调递增，在上单调递减．
所以，．
由题，可得，令，．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，则．
解法二：因为，由题意可知，所以，
又因为函数为可导函数，故函数在处取得极大值，
因为，则，所以，解得，
且当时，，，令得，列表如下：
增 极大值 减
此时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得最大值，合乎题意，故；
因为，该函数的定义域为，且，
当时，，
则在上单调递增，且，
当时，，不合乎题意；
当时，令，得，
令，得．
所以，函数在上单调递增，在上单调递减．
所以，．
由题，可得，令，．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，则．
证明：由知，当时，，即，当且仅当时，等号成立．
令，得，
所以，
，
，
，
累加得，，
故原结论成立．
18.数列满足，，，，．
当时，，
当时，由，
可得，
两式相除可得，
上式对也成立，
则，；
由可知，
所以
，
故；
因为对恒成立，
所以，令，
则当时，，
当时，，，
因为，，，，，，
所以，
当时，数列递减，
所以，
故实数的取值范围是．
19.设事件“第次降落成功”，
则“第次降落未成功”，，，，，
所以
；
易知，，，．
的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
则的分布列为：
故；
证明：易知，
当时，
即，
整理得，
又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
此时，
即，
易知单调递增．
所以．
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