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2024-2025 学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,3,4}， = {1,2,3,4}，则 ∩ =( )
A. {1,3,4} B. {2} C. {1,2,3,4} D.

2.复数 = 1 + 的共轭复数 =( )
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
3.已知向量 = (2,3)， = ( , 6).若 // ，则 等于( )
A. 9 B. 4 C. 4 D. 9
4.已知 > 0， > 0，若 = 1，则 + 的最小值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.已知棱台的上、下底面面积分别是 1，4，高为 3，则该棱台的体积是( )
A. 3 B. 7 C. 9 D. 21
6 1.已知 = 3，且 是第一象限角，则( )
A. sin(2 + ) = 13 B. sin( ) =
1
3
C. cos( ) = 2 2 23 D. tan( + ) = 4
7.在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名
顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为 0.4，乙专家有
更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为 0.6，则两人中恰有一人破译密码的概率为( )
A. 0.4 B. 0.52 C. 0.6 D. 0.76
8.已知函数 ( ) = , > 0 , ≤ 0 ，则有( )
A. ( (1)) = 0
B. ( )的值域为[0, + ∞)
C. ( )在 上单调递增
D.若关于 的方程 ( ) = 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为(0,1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.兴义市某中学高一年级进行年度表彰活动，对申报表彰的同学进行“德智体美劳”等方面进行考核，有
五位同学因表现优异分别获得了各类别的“优秀之星”称号.具体获奖次数列举如下：2、3、4、4、7，则
下列说法中正确的是( )
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A.这组数据的极差为 5 B.这组数据的方差为 2.5
C.这组数据的众数等于平均数 D.这组数据的中位数是 4
10.已知向量 = (2, 1)， = (1, 2)，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ B. + = (3, 3)
C. | 2 | = 3 D. 在 8 4上的投影向量为( 5 , 5 )
11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类
九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三
角形三边 、 、 ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中
斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上
1 2+ 2 2
这段文字写成公式，即： = 2 2 24 [ ( 2 ) ]，现有△ ，其内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
且 ： ： = 2：3：4，△ 的面积为 3 15，则下列结论正确的是( )
A. △ 的周长为 36
B.若 为△ 的外心，则 ( + ) = 50
C. △ 15内切圆的半径为 3
D.在△ 中，边 的中线 的长为 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = 1 + ，则| | = ______．
13.若事件 与 互斥，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.5，则 ( ∪ ) = ______．
14.在△ 中， 是 的中点， = 3， = 10，则 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验
中：
(1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设 =“骰子朝上的
点数大于 3”，求事件 的概率；
(2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰子的点数，
用( , )表示一次实验的结果.设 =“两个点数之和等于 8”， =“至少有一颗骰子的点数为 5”，分别求
出事件 ， 的概率．
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16.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 1 1， 1 1的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求直线 1与直线 所成的角的大小．
17.(本小题 15 分)
为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从
参与活动的人员中随机抽取 100 名，根据他们的竞赛成绩(成绩均在[50,100]内)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前 20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求
获得免费门票的人员的最低分数．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， + = 5 ．
(1)求 ；
(2)已知 = 2．
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(ⅰ)当 = 2 3时，求 的值；
(ⅱ)当 2 = 2 时，求△ 的周长．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 ⊥平面 ，若 = 2, = = 5．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)若 4为侧面 内(包含边界)的一点，且四棱锥 的体积为3，求 与平面 所成角的正弦值
的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.0.8
14. 16
15.(1)由题易知，样本空间 = {1,2,3,4,5,6}，则 = {4,5,6}，
= ( ) = 3 = 1的概率为 ( ) 6 2；
(2)由题意 ( 1) = 6 × 6 = 36，设 =“两个点数之和等于 8”， =“至少有一颗骰子的点数为 5”，
根据题意，写出事件 ， 的所有可能如下所示：
= {(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，
= {(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(6,5)}，
则 ( ) = 5， ( ) = 11，
( ) = ( ) = 5 , ( ) = ( ) = 11所以 ( 1) 36 ( 1) 36
．
16.(1)证明：因为点 ， 分别为棱 1 1， 1 1的中点，
所以 // 1 1，
又因为 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
(2)设正方体棱长为 ，( > 0)，
所以 1 = 1 1 = 1 = 2 ，
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所以三角形 1 1是边长为 2 的等边三角形，
所以直线 1与直线 1 1所成的角的大小为 60°，
因为 // 1 1，
所以直线 1与直线 所成的角的大小为 60°．
17.(1)由频率分布直方图可得(0.008 + 0.024 + 0.036 + 0.020 + ) × 10 = 1，解得： = 0.012．

(2)平均分为： = 0.08 × 55 + 0.24 × 65 + 0.36 × 75 + 0.2 × 85 + 0.12 × 95 = 75.4，所以平均分为 75.4．
(3)因为 100 × 0.2 = 20，所以最低分数为第 20 名分数，
且[90,100]频数为 12，[80,90)频数为 20，
所以第 20 名在[80,90)这一组中，并且为该组的第 8 名，
8
所以 90 20 × 10 = 86 分，
所以最低分数为 86 分．
18.(1)由题意 + = 5 ，
又因为 + + = ，

可得 = 6；
(2)(ⅰ)因为 = 2， = 6， = 2 3，
又因为 2 = 2 + 2 2 ，可得 2 + 12 6 = 4，即 2 6 + 8 = 0，
解得 = 2 或 = 4；
(ⅱ)由于 2 = 2 ，
所以 2 = 2 ，
因为 ， ∈ (0, )，可得 ≠ 0 2，可得 = 2 ，

可得 = 4，
= 又因为 6，
可得 = sin( 1 26 4 ) = sin( 6 + 4 ) = 2 × 2 +
3 × 22 2 =
2+ 6
4 ，
2
所以由正弦定理可得 1 = 2 = 2+ 6，解得 = 2 2, = 2 + 6，
2 2 4
可得△ 的周长为 2 + 2 2 + 2 + 6 = 2 + 3 2 + 6．
19.解：(1)取 的中点 ，连接 ，因为 = ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
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平面 ，
所以 ⊥平面 ，
即点 到 的距离为 ，
又因为 = 2, = = 5，

可得 = 2 ( )2 = ( 5)2 122 = 2，
所以点 到 的距离为 2．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，
因为底面 是正方形，可得 ⊥ ，
由(1)知， ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为 的平面角，
在直角△ 中，可得 = 2, = 2 + 2 = 22 + 22 = 2 2，
2 2
所以 cos∠ = = 2 2 = 2 ，
2
即二面角 的余弦值为 2 ．
(3)因为底面 是正方形，且 = 2，所以正方形 的面积为 = 4，
设四棱锥 的高为 ，
因为四棱锥 4的体积为3，
1 4
可得3 = 3，
解得 = 1，
分别取 ， ， ， 的中点 1， 1， 1， 1，连接 1 1， 1 1， 1 1， 1 1，
可得 1 1// 1 1， 1 1// 1 1，
所以 1， 1， 1， 1在同一个平面内，
因为 1 1// ， 1 1// ，且 1 1 平面 ， 平面 ，
所以 1 1//平面 ，同理可证 1 1//平面 ，
又因为 1 1 ∩ 1 1 = 1，且 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，
所以平面 1 1 1 1//平面 ，
由(1)知 ⊥平面 ，且点 到 的距离为 2，
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所以 1 1到 的距离为 1，即 1 1到 的距离为 1，
即点 在线段 1 1上运动，且点 到平面 的距离为 1，
要使得 与平面 所成角的正弦值的最小值，则 最长，
即点 与 1重合时， 与平面 所成角的正弦值取得最小值，
取 的中点 ，因为 1为 的中点，可得 1 // ，
因为 ⊥平面 ，所以 1 ⊥平面 ，
连接 ，因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
在直角△ 中， = 2, = 32，
可得 = 2 + 2 = 22 + ( 3 2 52 ) = 2，
在直角△ 1中，可得 1 = 2 + 1 2 = (
5 2 2 29
2 ) + 1 = 2 ，
则 sin∠ 1 =
1 = 2 29 29 ，1
即 与平面 2 29所成角的正弦值的最小值为 29 ．
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