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广东省两校2024-2025学年高三下学期高考临门一脚考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·广东模拟）复数（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广东模拟）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（　　）
A．0 B．0， C．0， D．，0，
3．（2025·广东模拟）如图，在平行四边形中，（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广东模拟）《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广东模拟）双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（　　）.
A． B． C． D．
6．（2025·广东模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广东模拟）已知函数，则函数的最大值和周期分别是（　　）
A．， B．， C．2， D．2，
8．（2025·广东模拟）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025·广东模拟）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（　　）
A．平均数
B．标准差
C．平均数且极差小于或等于
D．众数等于且极差小于或等于
10．（2025·广东模拟）已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（　　）
A．函数的图像关于对称
B．
C．函数在上单调递增
D．若函数的最大值与最小值之和为2，则
11．（2025·广东模拟）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．是钝角 B．是第二象限角
C． D．点在第四象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·广东模拟）若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么　 　.
13．（2025·广东模拟）名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有　 　种不同排法.用数字作答
14．（2025·广东模拟）如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·广东模拟）在中，角，，所对的边分别为，已知．
（1）求角 的大小；
（2）若，求的面积．
16．（2025·广东模拟）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）证明平面；
（2）求平面与平面的夹角.
17．（2025·广东模拟）已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式 ；
（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025·广东模拟）若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围.
19．（2025·广东模拟）已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切.
（1）求实数的值；
（2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】利用复数的除法运算法则计算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：因为，，所以集合中的元素个数为1个或3个，
因为，所以或，
①当集合中的元素个数为1时，有两相等的实数根，且无解，
所以，解得；
②当集合中的元素个数为3时，有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，
所以，解得或，
综上所述，或或.
故选：D.
【分析】根据定义可知集合中的元素个数为1个或3个，由得或，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】设等边圆柱、正方体、球的体积分别为，
所以，
所以，，，
因为，所以，
故选：A.
【分析】根据体积公式先求出等边圆柱、正方体、球的体积，进而利用公式求解出、、，再比较其大小即可求得答案.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线：可知：，，
所以顶点坐标为，渐近线方程为，即，
所以顶点到其渐近线的距离等于。
故答案为：C.
【分析】由双曲线：可知a，b的值，进而得出顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出顶点到其渐近线的距离。
6．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：由解得，所以．
故选：C．
【分析】根据集合表示的意义，即求出的交点，联立方程组求解即可．
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为
所以，
而周期，
所以函数的最大值和周期分别是，
故选：A.
【分析】先利用辅助角公式化简函数f(x)，进而根据正弦函数的性质即可求解.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为函数的定义域为R，而，所以函数是奇函数，且该函数在上单调递增，故选项A正确；
B、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项B错误；
C、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项C错误；
D、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项D错误.
故选：A.
【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、例如1，1，1，1，1，1，6，此时，并不能保证每天新增感染人数不超过人，故选项A错误；
B、标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，并不能保证每天新增病例数不超过人，故选项B错误；
C、当极差等于或，在的条件下，则最大值不超过3；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，故选项C正确；
D、若最小值是1时，则最大值不超过5；若最小值是0时，则最大值不超过4，故每天新增感染人数不超过人，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】举例说明即可判断选项AB；利用假设法可判断选项C、D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为，即，所以函数关于中心对称，
因为，所以函数关于轴对称，
所以函数为周期函数，其周期为，
所以，所以函数的图像关于对称，故选项A正确；
B、因为函数关于中心对称，所以关于对称，
所以，故选项B正确；
C、由于没有明确的解析式，无法得知函数 的单调区间，故选项C错误；
D、因为函数关于中心对称，所以函数为奇函数，
所以函数的最大值与最小值之和为0，所以的最大值与最小值之和为，
所以函数的最大值与最小值之和为，所以，解得，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】根据已知条件可知函数 的对称中心为及对称轴为，进而可得函数的周期，得，即可判断选项A；根据函数关于中心对称，即可得函数关于对称，进而即可判断选项B；根据已知条件，没有依据可得函数的单调区间即可判断选项C；由函数关于中心对称可知函数为奇函数，进而即可知函数的最大值与最小值之和为，结合已知条件即可求得b的值可判断选项D.
11．【答案】B,C
【知识点】象限角、轴线角；任意角三角函数的定义；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：AB、因为点在第二象限，所以是第二象限角，但不一定是钝角，故选项A错误，选项B正确；
C、，故选项C正确；
D、因为，，所以点在第二象限，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】根据点的坐标可知角的终边的位置即可判断选项AB；根据三角函数的定义求得即可判断选项C；根据的正负，即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，
所以，
所以
所以，①
因为是奇函数，
所以，
所以，
即为，②
由①②可得，所以，
，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以，，所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和奇偶函数的定义即可得，，进而可得，再进而求导可得，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，利用诱导公式，两角和的余弦公式以及余弦函数的性质可得，，进而即可求得.
13．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将名女生看成做一个元素排在一起，有种情况，
再将其与其他名男生进行全排列，有种情况，则其不同的排列方法为种，
故答案为：.
【分析】利用捆绑法将2个女生排在一起，再与4个男生进行全排列即可求不同的排法总数.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接与，
由题意可知，是等边三角形，E是的中点，所以，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以平面，
过作，交于，所以平面，
连接，所以，
因为，所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接与，根据正三棱柱的性质可知平面，过作，交于，进而可知平面，即，正三棱柱中，点在平面上的射影为线段的中点，则可知点D到平面的距离等于点B1到平面的距离，再求出的长，根据其比值可知角 的正弦值，进而即可求角 的大小．
15．【答案】解：(1)因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以.
(2)由余弦定理可得，，
所以，即，解得或(舍)
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用诱导公式和两角和的正弦公式化简可得，进而利用同角三角函数的关系式可得，即可求得 角 的大小；
(2)利用余弦定理列式即可求得，再利用三角形面积公式即可求得的面积．
16．【答案】（1）证明：∵，，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，、平面 ，
∴，，
∴SA，AD，AB两两垂直，
如图所示，以所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∵平面，平面，，，
，，平面，
∴平面，
∴平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
，，
，令，则，，，
设平面与平面的夹角大小为，
，
∵，∴，∴平面与平面的夹角大小为

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据线线垂直的性质可知，进而利用线面平行判定定理可得平面；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出 平面与平面 的法向量，进而利用向量的夹角公式计算即可求解.
（1）∵，，∴，
又平面，平面，
∴平面；
（2）∵平面且、平面 ，∴，，又∵，
故分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
如图所示：
由，，
可得：，，，，，
由已知平面，平面，，，
，，平面，
所以平面，
为平面的一个法向量，且；
设为平面的一个法向量，
则，，
，，
，，
，
令，则，，
，
设平面与平面的夹角大小为，
，
由得：平面与平面的夹角大小为
17．【答案】解：（1）因为，所以
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知，①，
两边同乘得，②，
①-②得，，
所以，所以，
取，
当时，恒成立，则恒成立，
即数列从第二项开始是单调递减的，
又，所以数列的最大项为，
若恒成立，则.
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推关系化简可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式即可求得数列 的通项公式；
（2）先用错位相减法 数列的前n项和为， 进而可求得bn的通项公式，进而作商可知数列从第二项开始是单调递减的，即可求得数列的最大值，进而即可求得实数 的取值范围.
18．【答案】解：由题意可知，对恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】将问题转化为在实数集上恒成立，可得判别式，列不等式求解求解可得实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意可得，，所以，
又，所以在处的切线方程为，
因为切线与相切，联立得，
因为，解得或a=-3(舍).
所以实数a的值为1.
（2）证明：由（1）得，所以，
当时，，所以在上单调递增，即时，函数无极大值点.
当时，令，
所以，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又
所以当时，，即，
所以是的最大的极小值点，且.
所以，，
所以存在，使得，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对函数 进行求导，进而利用导数的几何意义，求出曲线在处的切线方程 ，再将该切线方程与抛物线方程联立，结合，解方程即可求得实数a的值；
（2）根据(1)先求得函数的解析式，进而对函数进行求导，进而求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理，进而求得极值点的范围，再结合不等式放缩法即可证得.
（1）∵，∴，
又，所以在处的切线方程为，
因为切线与相切，联立得，
由及，解得；
（2）由（1）得，所以，
当时，，所以在无极大值点.
当时，令，则在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又
所以当时，，即，
所以是的最大的极小值点，且.
∵，，
所以存在，使得，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
.
所以.
1 / 1广东省两校2024-2025学年高三下学期高考临门一脚考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·广东模拟）复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】利用复数的除法运算法则计算即可求解.
2．（2025·广东模拟）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（　　）
A．0 B．0， C．0， D．，0，
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：因为，，所以集合中的元素个数为1个或3个，
因为，所以或，
①当集合中的元素个数为1时，有两相等的实数根，且无解，
所以，解得；
②当集合中的元素个数为3时，有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，
所以，解得或，
综上所述，或或.
故选：D.
【分析】根据定义可知集合中的元素个数为1个或3个，由得或，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.
3．（2025·广东模拟）如图，在平行四边形中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：.
故选：D.
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算即可求解.
4．（2025·广东模拟）《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】设等边圆柱、正方体、球的体积分别为，
所以，
所以，，，
因为，所以，
故选：A.
【分析】根据体积公式先求出等边圆柱、正方体、球的体积，进而利用公式求解出、、，再比较其大小即可求得答案.
5．（2025·广东模拟）双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线：可知：，，
所以顶点坐标为，渐近线方程为，即，
所以顶点到其渐近线的距离等于。
故答案为：C.
【分析】由双曲线：可知a，b的值，进而得出顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式得出顶点到其渐近线的距离。
6．（2025·广东模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法；交集及其运算
【解析】【解答】解：由解得，所以．
故选：C．
【分析】根据集合表示的意义，即求出的交点，联立方程组求解即可．
7．（2025·广东模拟）已知函数，则函数的最大值和周期分别是（　　）
A．， B．， C．2， D．2，
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为
所以，
而周期，
所以函数的最大值和周期分别是，
故选：A.
【分析】先利用辅助角公式化简函数f(x)，进而根据正弦函数的性质即可求解.
8．（2025·广东模拟）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、因为函数的定义域为R，而，所以函数是奇函数，且该函数在上单调递增，故选项A正确；
B、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项B错误；
C、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项C错误；
D、因为函数的定义域为R，而，所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项D错误.
故选：A.
【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025·广东模拟）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（　　）
A．平均数
B．标准差
C．平均数且极差小于或等于
D．众数等于且极差小于或等于
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、例如1，1，1，1，1，1，6，此时，并不能保证每天新增感染人数不超过人，故选项A错误；
B、标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，并不能保证每天新增病例数不超过人，故选项B错误；
C、当极差等于或，在的条件下，则最大值不超过3；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，故选项C正确；
D、若最小值是1时，则最大值不超过5；若最小值是0时，则最大值不超过4，故每天新增感染人数不超过人，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】举例说明即可判断选项AB；利用假设法可判断选项C、D.
10．（2025·广东模拟）已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（　　）
A．函数的图像关于对称
B．
C．函数在上单调递增
D．若函数的最大值与最小值之和为2，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为，即，所以函数关于中心对称，
因为，所以函数关于轴对称，
所以函数为周期函数，其周期为，
所以，所以函数的图像关于对称，故选项A正确；
B、因为函数关于中心对称，所以关于对称，
所以，故选项B正确；
C、由于没有明确的解析式，无法得知函数 的单调区间，故选项C错误；
D、因为函数关于中心对称，所以函数为奇函数，
所以函数的最大值与最小值之和为0，所以的最大值与最小值之和为，
所以函数的最大值与最小值之和为，所以，解得，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】根据已知条件可知函数 的对称中心为及对称轴为，进而可得函数的周期，得，即可判断选项A；根据函数关于中心对称，即可得函数关于对称，进而即可判断选项B；根据已知条件，没有依据可得函数的单调区间即可判断选项C；由函数关于中心对称可知函数为奇函数，进而即可知函数的最大值与最小值之和为，结合已知条件即可求得b的值可判断选项D.
11．（2025·广东模拟）若角的终边经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．是钝角 B．是第二象限角
C． D．点在第四象限
【答案】B,C
【知识点】象限角、轴线角；任意角三角函数的定义；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：AB、因为点在第二象限，所以是第二象限角，但不一定是钝角，故选项A错误，选项B正确；
C、，故选项C正确；
D、因为，，所以点在第二象限，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】根据点的坐标可知角的终边的位置即可判断选项AB；根据三角函数的定义求得即可判断选项C；根据的正负，即可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·广东模拟）若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，
所以，
所以
所以，①
因为是奇函数，
所以，
所以，
即为，②
由①②可得，所以，
，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以，，所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和奇偶函数的定义即可得，，进而可得，再进而求导可得，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，利用诱导公式，两角和的余弦公式以及余弦函数的性质可得，，进而即可求得.
13．（2025·广东模拟）名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有　 　种不同排法.用数字作答
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将名女生看成做一个元素排在一起，有种情况，
再将其与其他名男生进行全排列，有种情况，则其不同的排列方法为种，
故答案为：.
【分析】利用捆绑法将2个女生排在一起，再与4个男生进行全排列即可求不同的排法总数.
14．（2025·广东模拟）如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接与，
由题意可知，是等边三角形，E是的中点，所以，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以平面，
过作，交于，所以平面，
连接，所以，
因为，所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接与，根据正三棱柱的性质可知平面，过作，交于，进而可知平面，即，正三棱柱中，点在平面上的射影为线段的中点，则可知点D到平面的距离等于点B1到平面的距离，再求出的长，根据其比值可知角 的正弦值，进而即可求角 的大小．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·广东模拟）在中，角，，所对的边分别为，已知．
（1）求角 的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】解：(1)因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以.
(2)由余弦定理可得，，
所以，即，解得或(舍)
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用诱导公式和两角和的正弦公式化简可得，进而利用同角三角函数的关系式可得，即可求得 角 的大小；
(2)利用余弦定理列式即可求得，再利用三角形面积公式即可求得的面积．
16．（2025·广东模拟）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.
（1）证明平面；
（2）求平面与平面的夹角.
【答案】（1）证明：∵，，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，、平面 ，
∴，，
∴SA，AD，AB两两垂直，
如图所示，以所在直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∵平面，平面，，，
，，平面，
∴平面，
∴平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
，，
，令，则，，，
设平面与平面的夹角大小为，
，
∵，∴，∴平面与平面的夹角大小为

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据线线垂直的性质可知，进而利用线面平行判定定理可得平面；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出 平面与平面 的法向量，进而利用向量的夹角公式计算即可求解.
（1）∵，，∴，
又平面，平面，
∴平面；
（2）∵平面且、平面 ，∴，，又∵，
故分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
如图所示：
由，，
可得：，，，，，
由已知平面，平面，，，
，，平面，
所以平面，
为平面的一个法向量，且；
设为平面的一个法向量，
则，，
，，
，，
，
令，则，，
，
设平面与平面的夹角大小为，
，
由得：平面与平面的夹角大小为
17．（2025·广东模拟）已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式 ；
（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）因为，所以
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知，①，
两边同乘得，②，
①-②得，，
所以，所以，
取，
当时，恒成立，则恒成立，
即数列从第二项开始是单调递减的，
又，所以数列的最大项为，
若恒成立，则.
【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推关系化简可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式即可求得数列 的通项公式；
（2）先用错位相减法 数列的前n项和为， 进而可求得bn的通项公式，进而作商可知数列从第二项开始是单调递减的，即可求得数列的最大值，进而即可求得实数 的取值范围.
18．（2025·广东模拟）若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围.
【答案】解：由题意可知，对恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】将问题转化为在实数集上恒成立，可得判别式，列不等式求解求解可得实数的取值范围.
19．（2025·广东模拟）已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切.
（1）求实数的值；
（2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：.
【答案】（1）解：由题意可得，，所以，
又，所以在处的切线方程为，
因为切线与相切，联立得，
因为，解得或a=-3(舍).
所以实数a的值为1.
（2）证明：由（1）得，所以，
当时，，所以在上单调递增，即时，函数无极大值点.
当时，令，
所以，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又
所以当时，，即，
所以是的最大的极小值点，且.
所以，，
所以存在，使得，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先对函数 进行求导，进而利用导数的几何意义，求出曲线在处的切线方程 ，再将该切线方程与抛物线方程联立，结合，解方程即可求得实数a的值；
（2）根据(1)先求得函数的解析式，进而对函数进行求导，进而求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理，进而求得极值点的范围，再结合不等式放缩法即可证得.
（1）∵，∴，
又，所以在处的切线方程为，
因为切线与相切，联立得，
由及，解得；
（2）由（1）得，所以，
当时，，所以在无极大值点.
当时，令，则在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又
所以当时，，即，
所以是的最大的极小值点，且.
∵，，
所以存在，使得，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
.
所以.
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