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广东省深圳市福田区莲花中学北校区初三上学期开
学考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. (3分) 已知 ，下列四个不等式中，不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
2. (3分) 如图① ④是四种正多边形的瓷砖图案、是轴对称图形又是中心对称的图形为（ ）．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
3. (3分) 下列从左到右的变形中，是分解因式的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. (3分) 使分式 有意义的条件是（ ）．
A.
B.
C.
D.
5. (3分) 如图所示，一个 角的三角形纸片，剪去这个 角后，得到一个四边形，则 的度
数为（ ）．
1
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
A.
B.
C.
D.
6. (3分) 方程 的解是（ ）．
A.
B.
C.
D. ，
7. (3分) 已知一次函数 的图象如图所示，那么 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. (4分) 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近
几年销量全球第一， 年销量为 万辆，销量逐年增加，到 年销量为 万辆．设年平均增
长率为 ，可列方程为（ ）．
A.
B.
2
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
C.
D.
9. (3分) 若方程 有增根，则 的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10. (3分) 几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 元，后来又增加了两名同学，租车价
不变，结果每个同学比原来少分摊了 元车费．若设开始参加旅游的同学共有 人，则根据题意可列方
程（ ）．
A.
B.
C.
D.
11. (3分) 如图，在平行四边形 中，过对角线 上一点 ，作 ， ，若四边
形 和四边形 的面积分别为 和 ，则 与 的大小关系为（ ）．
A.
B.
C.
D. 不能确定
12. (3分) 如图所示，矩形 中， 平分 交 于 ， ，则下列结论：
① 是等边三角形；
② ；
3
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
③ ；
④ ；
其中正确的个数是（ ）个．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. (4分) 分解因式： ．
14. (3分) 如果一个多边形的内角和等于它外角和的 倍，则这个多边形的边数是 ．
15. (3分) 菱形 的对角线 ， 的长分别是 和 ，则这个菱形的面积是 平方单位．
16. (3分) 如图所示，在平行四边形 中， ， ， ， 是 的中点，
于点 ，则 的面积为 平方单位．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17. (6分) 解分式方程： ．
4
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
18. (6分) 先化简再求值： ，且 ．
19. (5分) 解不等式组： ．
20. (6分) 如图，已知 是坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ．
（ 1 ） 将 向右平移 个单位，再向上平移 个单位 ，画出图形．
（ 2 ） 画出 关于原点对称的 ，并求出对应点 ( )、 ( )的坐标．
（ 3 ） 求出 的面积是 平方单位．
21. (8分) 如图，已知 为矩形 对角线的交点，过点 作 ，过点 作 ，且
， 相交于 点．
5
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
（ 1 ） 求证：四边形 是菱形．
（ 2 ） 若 ， ，求菱形 的面积．
22. (8分) 某商场销售一批名牌服装，平均每天可销售 件，每件获利 元．为了扩大销售，增加盈
利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件服装每降价 元，商场平均
每天可多售出 件．若商场平均要获利 元，问每件服装应降价多少元？
23. (10分) 如图，已知在正方形 中， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点
作 ，交射线 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
（ 1 ） 求 的长．
（ 2 ） 探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（ 3 ） 设 ，四边形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式．
6
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【答案】
1. B
2. D
解析:
①、是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；
②、是轴对称图形，也是中心对称图形，故②正确；
③、是轴对称图形，不是中心对称图形，故③错误；
④、是轴对称图形，也是中心对称图形，故④正确．
满足条件的是②④．
故选 ．
3. C
解析:
因式分解的本质是将整式加减形式恒等变形到乘积形式，故 、 错误，
而 项右边 左边，故错误，
项利用平方差公式，是对的．
7
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
故选 ．
4. B
解析:
由题意，得
，
解得 ．
故选 ．
5. C
解析:
顶部三角形除去 角后剩下的两角和为 ，
与 分别于三角形中的两个内角互补，
所以 ．
6. D
解析:
，
，
所以 ， ，
故选 ．
7. A
解析:
一次函数 的图象从左到右递增．
∴ ， ．
8. A
解析:
设年平均增长率为 ，可列方程为：
．
故选 ．
8
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
9. A
解析:
两边同乘 ，得 ，
则 为增根，即 ，
则 ，
∴ ．
故选 ．
10. B
解析:
设原参加旅游的同学有 人，则根据题意可列方程为： ．
故选 ．
11. A
解析:
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ，
， ，
∴四边形 ， 是平行四边形，
∵在 和 中 ，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ，
同理 ， ，
∴ ，
即 ，
故选 ．
12. C
解析:
∵矩形 中， 平分 ，
9
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵矩形中 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质， ，
∴ ，
由垂线段最短 ，
∴ ，故②错误；
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，故③正确；
∵ 和 的底边 ，点 到 的距离相等，
∴ ，故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故选： ．
13.
解析:
原式 ．
14.
解析:
∵多边形外角和为 ，
∴该多边形内角和为 ，
10
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
设边数为 ，则 ．
解得 ．
15.
解析:
∵菱形 的对角线 ， 的长分别是 和 ，
∴菱形 的面积
．
故答案为： ．
16.
解析:
在平行四边形 中， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∵平行四边形 的对边 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17. 无解．
11
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
解析:
，
，
，
经检验 是原方程增根，
原方程无解．
18. ， ．
解析:
原式
．
当 时，
原式 ．
19. ．
解析:
①
，
②
由①得， ，
由②得， ，
∴不等式组的解集为 ．
20.（ 1 ）画图见解析．
（ 2 ） ;
（ 3 ）
解析:
（ 1 ）如图所示：
12
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
．
（ 2 ）如图所示：
对应点 的坐标为 ，
对应点 的坐标为 ．
（ 3 ）由图可知，
的面积为
（平方单位）．
故答案为： ．
21.（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）四边形 的面积 ．
解析:
（ 1 ）∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（ 2 ）在 中，
13
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
∵ ， ， ，
∴ ．
∴矩形 的面积 ，
∵ 矩形 ，
∴四边形 的面积 ．
22. 应降价 元．
解析:
设每件应降价 元，则
，
解得： ， ．
∵要尽快减少库存，
∴ ．
答：应降价 元．
23.（ 1 ） ．
（ 2 ）是， ．
（ 3 ） ．
解析:
（ 1 ）如图，作 ， ，
∴ ，
∵点 是正方形 对角线上的点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
14
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
∴ ≌ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
．
故答案为： ．
（ 2 ） 的值是定值，定值为 ，
∵正方形 和正方形 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∴
．
故答案为： ．
（ 3 ）如图，
∵正方形 中， ，
∴ ，
过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
， ，
根据勾股定理得，
15
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}
，
∵四边形 为正方形，
∴ 正方形 ．
故答案为： ．
16
{#{QQABTYw14wAwkIZACAa6BwUiCwoQsJOQLQoGAUAIOERKiBFAFAA=}#}

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