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专题突破5　牛顿运动定律的综合应用
【目标任务】
1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。2.理解各种动力学图像，并能分析图像特殊点、斜率、截距、面积的物理意义。3.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。
【能力特训】
素能提优一　动力学中的连接体问题(综合提升类)
1.连接体的运动特点
轻绳 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等
轻杆 轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度；轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比
轻弹簧 在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度相等
2.处理连接体问题的方法
(1)整体法
①当连接体内(系统内)各物体的加速度相同时，可以把系统内的所有物体看成一个整体，分析其受力和运动情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解。
②运用整体法解题的基本步骤
明确所研究系统和运动的全过程 画出系统整体的受力图或运动全过程的示意图 选用适当的物理规律列方程求解
(2)隔离法
①当求系统内物体间相互作用的内力时，常把某个物体从系统中隔离出来，分析其受力和运动情况，再用牛顿第二定律对隔离出来的物体列方程求解。
②运用隔离法解题的基本步骤
第一步：明确研究对象或过程、状态。
第二步：将某个研究对象或某段运动过程、某个状态从系统或全过程中隔离出来。
第三步：画出某状态下的受力图或运动过程示意图。
第四步：选用适当的物理规律列方程求解。
(3)整体法、隔离法的交替运用
若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。若已知物体之间的作用力，则“先隔离求加速度，后整体求外力”。
典例1 [物体叠放与弹簧连接](2024·福建模拟)为了测量小木板和斜面间的动摩擦因数，某同学设计了如图所示的实验，在小木板上固定一个轻质弹簧测力计(以下简称弹簧)，弹簧下端吊一个光滑小球，弹簧与斜面平行。现将木板连同弹簧、小球放在斜面上，用手固定木板时，弹簧示数为F1，放手后，木板沿斜面下滑，稳定后弹簧示数为F2，测得斜面倾角为θ，则木板与斜面间的动摩擦因数μ为多少 (斜面固定在地面上)
①审题关键点：a.用手固定木板时，弹簧示数为F1；b.放手后，木板沿斜面下滑，稳定后弹簧示数为F2。
②解题切入点：a.用手固定木板时，小球处于平衡状态；b.放手后，木板沿斜面下滑，小球沿斜面向下做匀加速直线运动。
对点特训
1.如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A。木板B受到随时间t变化的水平拉力F作用时，木板B的加速度a与拉力F的关系图像如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小滑块A的质量为(　　)
A.1 kg B.2 kg C.3 kg D.4 kg
2.(2024·河北邢台期中)某升降电梯的原理图如图所示，轿厢A与对重B通过跨过轻质定滑轮的轻质缆绳连接，电机通过轻质缆绳拉动对重B，使轿厢A由静止开始向上做匀加速直线运动，到达一定高度后关闭电机，轿厢A和对重B减速到0时卡死缆绳。已知轿厢A与对重B的质量之比为3∶2，轿厢A加速和减速时的加速度大小相等，运动过程中轿厢A未接触滑轮，对重B未落地或接触其他物体，不考虑空气阻力与摩擦阻力，取重力加速度大小g=10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.轿厢A减速上升时的加速度大小为1 m/s2
B.轿厢A加速上升时的加速度大小为2 m/s2
C.轿厢A加速上升与减速上升时受到缆绳的拉力大小之比为3∶2
D.轿厢A加速上升时，连接电机的缆绳中的拉力大于对重B所受的重力
素能提优二　动力学中的图像问题(综合提升类)
动力学图像问题的解题策略
(1)图像问题的实质是力与运动的关系，分析的关键在于弄清图像斜率、截距、交点、拐点、面积的物理意义，掌握物理图像所反映的物理过程，会分析临界点。
(2)应用物理规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”“图像与物理情境”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断。
典例2 [由运动图像分析物体的受力情况](多选)如图甲所示，一物块在t=0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图乙所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出(　　)
甲　　　　　　　　　乙
A.斜面的倾角
B.物块的质量
C.物块与斜面间的动摩擦因数
D.物块沿斜面向上滑行的最大高度
①审题关键点：t=0时刻物块滑上一固定斜面，其运动的v-t图线如图乙所示。
②解题切入点：
对点特训
[由加速度的图像分析物体的运动](2024·湖南模拟)(多选)如图甲所示，对静止在光滑水平面上的木箱施加一水平向左的拉力F，木箱加速度a随时间t变化的图像如图乙所示，2.5 s后加速度保持不变；箱内固定有一光滑斜面，斜面倾角θ=37°，可视为质点的滑块刚开始在斜面底部。已知木箱质量M=2 kg，滑块的质量m=1 kg，斜面高H=9.6 cm，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g=10 m/s2)(　　)
甲　乙
A.1 s末，水平拉力F的大小为4 N
B.2 s末，木箱的速度大小为6 m/s
C.2.5 s后滑块开始相对于斜面向上运动
D.2.8 s末，滑块到达斜面顶部
素能提优三　动力学中的临界和极值问题(综合提升类)
1.常见的临界条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN=0。
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩擦力，则发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是FT=0。
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时，速度达到最大值或最小值。
2.解题方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
典例3 如图所示，在一辆卡车的平板车厢上放置一个木箱，木箱与接触面间的动摩擦因数μ=0.5，卡车运行在一条平直的公路上，重力加速度g=10 m/s2。(已知木箱所受的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)
(1)当卡车以a=2 m/s2的加速度启动时，请分析说明木箱是否会发生相对滑动；
(2)当卡车遇到紧急情况刹车停止后，司机下车发现木箱已经撞在驾驶室后边缘，已知木箱在车上滑行的距离d=4 m，刹车前卡车的速度v=72 km/h，求卡车刹车时的加速度a1的最小值。
①审题关键点：a.卡车运行在平直的公路上，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；b.卡车以加速度a=2 m/s2启动；c.已知木箱在车上滑行的距离d=4 m，刹车前卡车的速度v=72 km/h。
②解题切入点：本题应对卡车上的木箱进行受力分析，熟悉牛顿第二定律和基本的运动学公式的应用。
连接体恰好脱离满足两个条件
(1)物体间的弹力FN=0。
(2)脱离瞬间系统、单个物体的加速度仍相等。
对点特训
1.[相对滑动的临界问题](2024·广西贵港模拟预测)(多选)如图所示，三个物块A、B、C的质量分别为m、2m、m，物块B叠放在C上，物块A与C之间用轻弹簧水平连接，物块A、C与水平地面间的动摩擦因数都为μ，物块B与C之间的动摩擦因数为。在大小恒为F的水平推力作用下，三个物块保持相对静止，一起向右做匀加速直线运动。已知重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧弹力大小为
B.要保持A、B、C三个物块相对静止，F的最大值不能超过6μmg
C.在撤去水平推力的瞬间，物块A的加速度不变
D.若撤去水平推力，物块B和C仍能保持相对静止
2.[恰好脱离的动力学临界问题]如图所示，弹簧一端固定在倾角θ=37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量m1=4 kg的物体P，Q为紧靠在P上的质量m2=8 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k=600 N/m，系统处于静止状态。现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2，求力F的最大值与最小值。
3.[动力学中的极值问题]一个质量m=0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0=2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F=6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=8 m。已知斜面倾角θ=37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)求物块加速度a的大小；
(2)求物块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(3)若拉力F的大小和方向可调节，如图所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少
参考答案
能力特训
素能提优一
典例1　tan θ
解析：固定时弹簧示数为F1，对小球受力分析有
F1=mgsin θ ①
整体下滑时，由牛顿第二定律得
(M+m)gsin θ-μ(M+m)gcos θ=(M+m)a ②
下滑稳定后，对小球，有mgsin θ-F2=ma ③
由式①②③得μ=tan θ。
对点特训
1.C　解析：由题图乙知，当F=9 N时，加速度a=2 m/s2，对整体分析，由牛顿第二定律有F=(mA+mB)a，代入数据解得mA+mB=4.5 kg，当F大于9 N时，A、B发生相对滑动，根据牛顿第二定律，对B有a==F-，由题图乙可知，图线的斜率k==，解得mB=1.5 kg，滑块A的质量mA=3 kg，C正确。
2.BC　解析：A减速上升过程中，对A研究，有mAg-T1'=mAa，对B研究，有T1'-mBg=mBa，其中=，联立解得a=2 m/s2，B正确、A错误；A加速上升过程中，对A研究，有T1-mAg=mAa，则T1=mAg+mAa=12mA，T1'=mAg-mAa=8mA，故轿厢A加速上升与减速上升时受到缆绳的拉力大小之比=，C正确；轿厢A加速上升时，对B研究，有T2+mBg-T1=mBa，代入可得T2=mBa-mBg+T1=10mB，故轿厢A加速上升时，连接电机的缆绳中的拉力与对重B所受的重力大小相等，D错误。
素能提优二
典例2　ACD　解析：由v-t图线可得，物块向上滑行的加速度大小a1=，物块返回时向下滑行的加速度大小a2=，对上升和返回时进行受力分析，运用牛顿第二定律可得a1==gsin θ+μgcos θ，同理a2=gsin θ-μgcos θ，联立方程可解得斜面倾角和物块与斜面之间的动摩擦因数，A、C正确；根据运动的v-t图线与横轴所围面积表示位移和斜面的倾角可求出物块向上滑行的最大高度，D正确。
对点特训
BC　解析：以木箱为参考系，当滑块相对于斜面刚要发生相对滑动时受到重力和斜面的支持力作用，此时滑块的加速度a=gtan θ=7.5 m/s2，1 s末，由题图乙可知a1=3 m/s2，滑块相对于木箱没有发生相对运动，滑块、木箱可视为整体，由牛顿第二定律有F=(M+m)a1，解得F=9 N，A错误；根据题图乙可知，0~2 s内木箱速度增加量Δv=a2Δt=6 m/s，即2 s末速度为6 m/s，B正确；2.5 s末，木箱的加速度aM=10 m/s2，滑块的加速度为7.5 m/s2，则滑块相对于斜面开始滑动，C正确；2.5 s后滑块与木箱开始发生相对滑动，设相对加速度为a3，根据ma3=maMcos θ-mgsin θ，=a3t2，解得t=0.4 s，则滑块到达斜面顶部的时刻为2.9 s末，D错误。
素能提优三
典例3　(1)木箱不会发生相对滑动　(2)5.6 m/s2
解析：(1)当卡车的加速度a=2 m/s2时，假设木箱与卡车一起运动，则对木箱，由牛顿第二定律得Ff=ma
木箱所受的最大静摩擦力Fm=μmg
代入数据可知Ff(2)刹车过程中，卡车向前运动的距离x1=
如不撞击，木箱向前运动的距离x2=
其中a2==μg
根据题意，x2-x1≥d
代入数据解得a1≥5.6 m/s2
则卡车刹车时的加速度a1的最小值为5.6 m/s2。
对点特训
1.ABC　解析：对A、B、C整体受力分析，摩擦力f=μ(m+2m+m)g=4μmg，根据牛顿第二定律有F-f=(m+2m+m)a，对A进行受力分析，根据平衡条件有F弹-μmg=ma，联立解得F弹=，A正确；A、B、C三个物块保持相对静止，对B进行分析，可知整体的最大加速度amax==，对A、B、C整体进行分析，根据牛顿第二定律有Fmax-4μmg=(m+2m+m)·amax，解得Fmax=6μmg，B正确；在撤去水平推力的瞬间，弹簧对A的弹力不会发生突变，即A的受力情况不变，加速度不变，C正确；在撤去水平推力的瞬间，若B、C相对静止，则对物块B、C整体进行受力分析，有F合=3μmg+F弹=3μmg+=3ma，可得整体的加速度a=μg+，结合上述可知，物块B的最大加速度amax=2.72 N　36 N
解析：设开始时弹簧的压缩量为x0，由平衡条件可得
(m1+m2)gsin θ=kx0
代入数据解得x0=0.12 m
因前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零，设此时弹簧的压缩量为x1，对物体P，由牛顿第二定律可得
kx1-m1gsin θ=m1a
前0.2 s时间内两物体的位移为x0-x1=at2
联立解得a=3 m/s2
对两物体进行受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大，有Fmin=(m1+m2)a=36 N
对Q，应用牛顿第二定律，可得
Fmax-m2gsin θ=m2a
解得Fmax=72 N。
3.(1)2 m/s2　(2)0.5　(3) N
解析：(1)根据L=v0t+at2，代入数据解得a=2 m/s2。
(2)根据牛顿第二定律有F-mgsin θ-μmgcos θ=ma，代入数据解得μ=0.5。
(3)设F与斜面夹角为α，平行斜面方向有
Fcos α-mgsin θ-μFN=ma
垂直斜面方向有FN+Fsin α=mgcos θ
联立解得F==
当sin(φ+α)=1时，F有最小值Fmin
代入数据解得Fmin= N。

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