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2024-2025学年甘肃省武威六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.已知是定义在上的奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.在中，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，若，则( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，是棱的中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果小明记录了他在月份的次训练成绩和月份的次训练成绩通过计算，他发现月份的训练成绩的平均值为，方差为；月份的训练成绩的平均值为，方差为下列结论正确的是( )
A. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为
B. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为
C. 小明这两个月的次训练成绩的方差为
D. 小明这两个月的次训练成绩的方差为
11.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，是分别线段上的两点不包括端点，且，下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知，，且，则的最小值是______．
14.在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
某中学组织了一次文学常识知识竞赛满分：分，从参赛学生中随机抽取名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第百分位数；
现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取人进行座谈了解，再从这人中随机抽取人作发言，求抽取的人恰好在同一组的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，．
证明：平面平面．
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
证明：．
求的取值范围．
若，求外接圆面积的最小值．
19.本小题分
定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点不包含端点，且，延长，，分别交，的延长线于点，．
已知，且三棱柱的体积为．
求三棱柱与三棱锥重合部分的体积；
求三棱柱与三棱锥的重合度．
若三棱柱与三棱锥的重合度，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为，所以．
因为，所以，所以．
所以，
则．
由两角和的正切公式可得．
由可知，则，即．
16.解：根据频率和乘组距为可知：，解得；
，，，，对应的频率依次为：
，，，，，
第百分位数累计频率为，在之间，
，
因此估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第百分位数为：；
，频率之比为：，
抽人，抽人，
设抽中，两人，抽中，，三人，
，，，，，，，，，，共种，
人恰好在同一组的有：，，，，共种，
因此人恰好在同一组的概率为：．
17.证明：设，
因此，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是，
由，即，因此，显然，
又，，平面，因此平面，
又平面，因此平面平面．
作垂足为，作，垂足为，连接，
平面平面，，平面，平面平面，
于是平面，由平面，因此，
又，，平面，因此平面，
又平面，因此，又，
因此为平面与平面所成角，
由，
因此
18.证明：因为，所以，
即，
所以；
由余弦定理可得，
由可知，则，所以，
当且仅当时，等号成立，因为，所以，
所以，即的取值范围为；
因为，且，所以，
由可知，则，
设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则，
则外接圆的面积，即外接圆面积的最小值为．
19.设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积．
作，交于点，连接，
因为平面，平面，因此平面，
因为，且，因此，
又平面，平面，因此平面，
又，因此平面平面，
因为，因此为棱的中点，
则三棱柱的体积，三棱锥的体积．
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，因此，因此∽，
因此，因此．
因为，平面，平面，因此平面．
因为平面平面，且平面，
因此，因此，
则∽，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
设，则，从而，
故三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，因此，因此∽，
因此，因此．
因为，平面，平面，因此平面．
因为平面平面，且平面，
因此，因此，
则∽，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
因为，因此，因此，
因此，解得或或．
因为，因此．
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