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2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定为( )
A. ， B. ，使得
C. ， D. ，使得
3.下列命题中正确的个数为( )
若，则
若，则
命题“，”的否定是“，”
“三个连续自然数的乘积是的倍数”是存在量词命题
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
5.已知函数，则“是奇函数”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.一次函数，，，则其大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
7.碳是碳元素的一种同位素，具有放射性活体生物其体内的碳含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳开始衰变并逐渐消失已知碳的半衰期为年，即生物死亡年后，碳所剩质量，其中为活体组织中碳的质量科学家一般利用碳这一特性测定生物死亡年代年科学家发现某生物遗体中碳含量约为原始质量的倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为参考数据：
A. 西汉 B. 东汉 C. 三国 D. 晋朝
8.双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一．定义在上的函数的图像关于点对称，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，以下说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 函数的值域为，
C. 在上单调递减
D. 在上单调递增
11.若函数，则下列选项正确的是( )
A. 是周期函数 B. 在上有个零点
C. 在上是增函数 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是______．
13.几位同学在研究函数时给出了下面几个结论：
函数的值域为；
存在，使得；
在是增函数；
若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立．
上述结论中正确结论的序号为______．
14.已知平面向量，若，则实数的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，集合．
若，求和；
设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知实数且，函数，．
已知，，求实数，的值．
当时，用定义法判断函数的奇偶性．
当时，利用对数函数单调性讨论不等式的解集．
17.本小题分
某企业生产一种机器的固定成本即固定投入为万元，但每生产百台时又需可变成本即需另增加投入万元，市场对此商品的需求量为百台，销售收入单位：万元的函数为，其中是产品生产并售出的数量单位：百台．
把利润表示为产量的函数；
产量为多少时，企业才不亏本不赔钱；
产量为多少时，企业所得利润最大？
18.本小题分
若函数在区间上有最大值和最小值，设．
求，的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
求关于的不等式解集；
若，求在上的值域；
设，记的最小值为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：因为，所以，
所以，；
因为是成立的必要不充分条件，所以，
当时，，得；
当时，则，等号不能同时取到，
解得，
综上，实数的取值范围是，即为．
16.解：因为，即，
解得，则，
又因为，
解得．
当时，，
函数定义域为，
所以函数为奇函数．
当，则，
由即，
当时，要使不等式成立，则，
解得．
当时，要使不等式成立，则，
解得，
综上所述：当时不等式的解集为当时不等式的解集为．
17.解：设利润为万元，当时，，
当时，，
故；
要使企业不亏本，则．
即或，解得或，即．
即年产量在台到台之间时，企业不亏本．
显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为台时，企业所得利润最大．
18.解：函数关于对称，
若在区间上单调递增，
则，解得，；
由可得，，
不等式等价于，
令，可得，
不等式在上有解等价为；
由二次函数性质可得在上单调递增，
所以，因此．
即可得实数的取值范围为．
19.解：不等式可化为，
即，
当时，解得，
当时，解得，
当时，无解，
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
，
当，，
因为在单调递减，在单调递增，且，
所以函数在上值域为，
当，，在单调递增，
又因为，，
所以函数在上值域为，
综上所述，函数在上值域为；
由题意可知，，
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为；
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为；
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值为，
综上所述，，
当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时，
综上所述，的最小值为．
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