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2024-2025学年湖南省娄底一中高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.扇形的半径为，圆心角为，则此扇形弧长为( )
A. B. C. D.
3.将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆台 C. 圆锥 D. 棱柱
4.已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，的第百分位数是
B. 若一组样本数据，，，，，的平均数为，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若，，，的标准差为，则，，，，的标准差是
6.在中，已知，是关于的方程的两个实根，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应点为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点在第二象限
B. 若为纯虚数，则点在虚轴上
C. 若，则点的集合所组成的图形面积为
D. 若，则为实数
10.已知的内角，，的对边分别为，，，，且，则( )
A. B. 的外接圆半径为
C. 若，则的面积为 D. 边上中线的最大值为
11.函数为奇函数，函数( )
A. 实数的值的值为
B. 函数为上的单调递增函数
C. 不等式的解集为
D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与垂直，则实数的值为______．
13.将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象，若函数为奇函数，则的最小值是______．
14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛该校将经过初选脱颖而出的名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表：
甲组
乙组
分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平；
按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过个的同学中随机抽取名学生，若两人做对题目的个数之和不少于个，则授予该校获得科学教育先进校称号求该校获得科学教育先进校的概率．
16.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式；
求函数的周期和单调递增区间；
若，求函数的值域．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，，分别为、的中点．
直接写出图中与平行的平面；
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，．
是边上的中线，，且，求的长度．
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19.本小题分
若函数的定义域为，且存在实数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称函数具有“性质”．
判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出实数的值，若不具有“性质”，请说明理由；
已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；
已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有个公共点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.依题中的数据可得：甲组做对题目为：，，，，；
乙组做对题目为：，，，，，
，，
，
，
，，
两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大．
学校将从甲、乙两组中做对题目超过个的同学中随机抽取名学生，两人做对题目的个数之和不少于个，则授予该校获得科学教育先进校称号，
将从甲、乙两组中做对题目超过个的同学共有四个，记四名同学为，，，，他们对应的分数为，，，，
样本空间为，，，，，，共包含个样本点，
若两人做对题目的个数之和不少于个，则对应的样本点共个，即为：，，
故所求为．
16.，，函数，
依题意，．
函数的周期；
由，，得，，
所以函数的单调递增区间为．
由，得，则
因此，
所以函数在上的值域为．
17.解：四边形为正方形，，分别为、的中点．
，，，
四边形和四边形均为平行四边形，
，，
平面，平面，平面，平面，
平面，平面；
证明：四边形为正方形，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
平面，平面平面．
解：存在，当为中点时，平面平面．
证明：连接，，，，设，
四边形为正方形，，分别为、的中点，
，，
四边形为平行四边形，．
为中点，．
，为的中点，
，，．
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面．
又平面，平面平面．
存在点，使得平面平面．
则．
18.解：因为，由正弦定理得：，
在中，，
可得，即，
由，
所以，
解得；
因为为的中点，，且，
则，
两边平方可得，
即，
可得，
由余弦定理可得；
为锐角三角形，且，
，
由正弦定理可得，
可得，
因为，可得，
可得，
所以，
所以
所以面积的取值范围为
19.函数具有“性质”，
设，
则，
故，
则，
则，
，，解得，
故函数具有“性质”，；
因为函数具有“性质”，
则，
当时，，
又当时，，
可得时，，
当时，；
当时，；
函数既具有“性质”，又具有“性质”，
即，且，
即函数为偶函数且关于直线对称，
则，
故的周期为；
又因为当时，，
可得函数图象如图：
直线过点，
当时，函数的图象与直线有无数个公共点，不合题意；
当时，要使函数的图象与直线有个公共点，
则直线和的在内的每个周期内图象都有个交点，
且轴左侧无交点，第个公共点位于第个周期内的区间上的图象上，
当直线过点时，；
当直线过点时，；
则符合题意的需满足；
同理，结合图象的对称性可得当时，需满足，
即实数的取值范围为
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