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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，内角，，所对的边分别为，，向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
3.已知菱形边长为，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰梯形，则原梯形面积为( )
A. B. C. D.
5.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为( )
A. ，或 B.
C. ，或 D.
6.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知直三棱柱中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似
B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体( )
A. 共有个顶点
B. 共有条棱
C. 表面积为
D. 与正八面体的体积之比为：
11.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若，则一定是等腰三角形
B. 若，则是等腰或直角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，且，则是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
13.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，，若平面，则的值为______．
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，是边的中点，，且，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，的面积，求的周长．
16.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
求的值；
在三角形中，，，且，求．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．
求证：平面；
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，在线段上不含端点，底面．
证明：平面平面．
设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，可得，
即，
由正弦定理得，即，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以；
解：因为的面积，可得，可得，
又因为，由余弦定理，
可得，所以，
则，所以，
所以的周长为．
16.解：已知向量与的夹角为，且，，
则，
则，
即，
又，
即；
由得，
．
17.解：因为，
则，
故，
在中，，，
所以，
则，，
可得，
所以，
所以．
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形，
则，
解得，
则，
即，
故，
即的取值范围为．
18.解：证明：四边形是矩形，
，
又平面，平面，
平面．
，平面，平面，
平面．
，，平面，
平面平面，
又平面，
平面．
证明：平面，平面，
，
在矩形中，，
又，，平面
平面．
又平面，
平面平面．
平面，平面，
平面平面．
又，平面平面，平面，
平面，
则为三棱锥的高，且．
，
，
．
19.

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