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2024-2025学年河南省三门峡市渑池第二高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量等可能取值为，，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在数列中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度单位：与时间单位：的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，( )
A. B. C. D.
5.哪吒之魔童闹海在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人个卡通模型和个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体，中，是的中点，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若圆上总存在两个点到点的距离为，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知数列中，，，则( )
A. 是递增数列 B. ，
C. ， D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为______．
13.曲线在处的切线方程为______．
14.某校名学生高一人，高二人，高三人在数学竞赛中获奖人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试首次测试测试Ⅰ通过率为，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试测试Ⅱ，通过率为通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
若某批次生产了枚芯片，合格数为随机变量当，时，求的期望与方差；
已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，记数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
已知曲线，直线与交于，两点．
若从，，，，，中任选一个数作为，求是椭圆的概率；
已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程．
18.本小题分
已知，，都是正项数列，且满足，，的前项和．
若是等比数列，求的公比；
若是等差数列，求的通项公式；
在的条件下，若，证明是等比数列，并求．
19.本小题分
已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，垂直于轴，且．
求的方程；
若为椭圆的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，且．
求证：直线与直线的斜率之和为定值；
过与轴垂直的直线交直线于点，求中点的轨迹方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设“芯片合格”为事件，
由题易知每个芯片合格的概率为，
所以随机变量满足二项分布，
则，；
记事件：芯片合格，事件：通过测试，事件：通过测试Ⅱ，
由题意得，
，
则，
故所求概率为．
16.因为，所以，解得，
对任意的，，
得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
证明：因为，
所以，
因为，数列为单调递增数列，所以，
即．
17.当时，是是圆，当或时，是椭圆，
当时，是双曲线，
综上，从，，，，，中任选一个数作为，是椭圆的概率为；
设，那么，记为，
设，那么，记为，
得，因此，
那么，
因此，解得，那么：．
18.，，都是正项数列，且满足，，的前项和，
，
设的公比为，则上式等价于，
整理得，解得舍去．
，，
，即，，
的公差，
．
证明：由得，
，两式作差得，
整理得，
，即，，
是首项为，公比为的等比数列．
，则，
．
19.由题意有，解得，
又，解得，
又由，
所以；
由题意可设过的直线的方程为，
所以，消去化简整理有，
所以，解得，
所以，
又，
所以
；
设中点为，，则，又直线的方程为，
令有，所以，
所以
，
又因为
所以，
所以．
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