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2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在一次数学测试中，有位同学的分数分别是：，，，，，，，，则这组数据的百分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的母线长为，高为，则圆锥的全面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中随机摸出个球，则摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.某校组织名学生参加庆祝中华人民共和国成立周年知识竞赛，经统计这名学生的成绩都在区间内，按分数分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图不完整，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在上的人数最多
B. 成绩不低于分的学生所占比例为
C. 名学生成绩的平均分小于中位数
D. 名学生成绩的极差为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.新高一学生会对物理、历史门课程进行选科，每位同学从中选择门课程学习现对该校名学生的选科情况进行了统计，如图，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图．
则下列说法正确的是( )
A. 满意率调查中抽取的样本容量为
B. 该校学生中对物理课程满意的人数约为
C. 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为，则
D. 抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数
11.如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，，，则( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与直线所成的角为
C. 三棱台的体积为
D. 三棱台的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，，三点共线，则 ______．
13.甲、乙两人向同一目标各射击次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中次的概率为______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从参加环保知识竞赛的学生中抽出名学生，将其成绩均为整数整理后画出的频率直方图如图所示观察图形，回答以下问题：
这一组的频率和频数分别为多少？
估计该次环保知识竞赛的及格率分以上为及格；
估计这组数据的百分位数．
16.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求的坐标；
Ⅱ求；
Ⅲ若，且，求实数的值．
17.本小题分
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，，，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点，两地相距米，在地听到弹射声音的时间比地晚秒．在地测得该仪器至最高点处的仰角为．
求，两地的距离；
求这种仪器的垂直弹射高度已知声音的传播速度为米秒
18.本小题分
如图，在长方体中，，，点为棱的中点．
证明：平面；
求异面直线与所成角的大小；
求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间单位：小时，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
若使用时间不小于小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了名学生进行问卷调查，并从这名学生中随机选择名学生进行访谈，求这名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题目容易知，这一组数据的频率为，
这一组数据的频数为；
及格率为；
因为数据落在的频率为，
数据落在的频率为．
设这组数据的百分位数为，
所以，
所以，故，
即这组数据的百分位数为．
16.Ⅰ向量，．
则；
Ⅱ，则；
Ⅲ，，
因为，
所以，解得．
17.解：由题意，设，则
在地听到弹射声音的时间比地晚秒
，
在内，由余弦定理：，
即，解得．
在中，，，
米．
答：该仪器的垂直弹射高度为米．
18.证明：设，连接，
在中，点为棱的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
解：由，可知或补角为异面直线与所成的角，
由题意得，，，，
所以，
因为，为等边三角形的中线，
所以，可得异面直线与所成的角为；
解：连接，
根据平面，可得为直线与平面所成的角，
在中，，，
所以，可得直线与平面所成的角的正切值为．
19.根据题意可知，，，
平均值为，，
根据题意可知，抽取的名学生中，青铜用户选名，记为，，，，铂金用户选名，记为，，
样本空间，
设事件“这名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则，
抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，这是一个古典概型，
．
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