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2024-2025 学年湖南省长沙市望城六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,3,6}， = { |1 < < 7}，则 ∩ =( )
A. (1,7) B. (3,6) C. {1,7} D. {3,6}
2 1.“ > 1”是“ < 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知| | = 2，向量 在向量 上的投影向量 与向量 方向相反，且| | = 3，则 与 的夹角为( )
A. B. C. 2 3 2 3 D.
5
6
4.坐标平面内点 的坐标为( 5, 5)，则点 位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.自然数22023的位数为(参考数据： 2 ≈ 0.3010)( )
A. 607 B. 608 C. 609 D. 610
2 26 .设 1， 2为双曲线曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1直线 与 第一象限相交于点 ，
| 1 | = |
7
1 2|且直线 倾斜角的余弦值为8， 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
2 2
7 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 2的直线交椭圆 于 ， 两点，若| 1| =
3| 2|，点 满足 1 = 3 2，且 ⊥ 1 ，则椭圆 的离心率为( )
A. 1 3 2 63 B. 3 C. 3 D. 3
8.定义域为 的函数 ( )满足 ′( ) > ( )，则不等式 1 ( ) < (2 1)的解为( )
A. ( 14 , + ∞) B. (
1
2 , + ∞) C. (1, + ∞) D. (2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮 5 次.统计各轮投进球的个数，获知其前四
轮投中的个数分别为 2，3，4，4，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是( )
A.平均数为 3，极差是 3 B.中位数是 3，极差是 3
C.平均数为 3，方差是 0.8 D.中位数是 3，方差是 0.56
10.已知函数 ( ) = 2 3cos22 + 2 2 2 3，则下列结论正确的是( )
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A. ( 8 ) = 1
B. ( ) 在[ 8 , 12 ]上单调递增
C. ( )的值域为[ 2,2]
D. ( 12 )

的图象关于直线 = 8对称
+1 , < 0
11.函数 ( ) = 3 ，关于 的方程
2( ) | ( )| = 0( ∈ )，则下列正确的是( )
, ≥ 0
A.函数 ( )的值域为
B.函数 ( )的单调减区间为( ∞,0)，[1, + ∞)
C.当 = 12时，则方程有 4 个不相等的实数根
D.若方程有 3 个不相等的实数根，则 的取值范围是( 3 , + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = + 3 的零点在区间( , + 1)， ∈ 内，则 = ______．
13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥
为阳马，侧棱 ⊥底面 ，且 = 3， = = 4，设该阳马的外接球半径为 ，内切球半径为
，则 =________．
14 .非零向量 ， 的夹角为3，且满足| | = | |( > 0)，向量组 1， 2， 3由一个 和两个 排列而成，向
2
量组 1， 2， 3由两个 和一个 排列而成，若 1 1+ 2 2 + 3 3所有可能值中的最小值为 4 ，则
=______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， ，若| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为 60°．
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(1)求| + 2 |；
(2)当 为何值时，向量 与向量 + 3 互相垂直？
16.(本小题 15 分)
求值：
1
(1)( 8 3 23 1 227 ) + 4 2 lg 5 + 2；
(2)sin( 23 6 ) + cos(
23
7 ) 2024 cos
13
3 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ( > 0，且 ≠ 1)的部分图象如图示．
(1)求 ( )的解析式；
(2) 1若关于 的不等式( )
+ ( 2 ) ≤ 0 在[1, + ∞)上有解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，点 的坐标为(4, 1) 3 ， 边上的中线所在直线的方程为 3 1 = 0，直线 的倾斜角为 4．
(1)求点 的坐标；
(2)过点 的直线 与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点，求△ ( 为坐标原点)面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ， ( ) = ( )( ) 2， ∈ ．
(Ⅰ)讨论 ( )的单调性；
(Ⅱ)若 ∈ ，且函数 ( )只有一个零点，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 412
14.83
2
15.解：(1) 2由已知可得， = | |2 = 1， = | |2 = 4， = | || | 60° = 1 × 2 × 12 = 1，
2
所以| + 2 |2 = ( + 2 )2 = 2 + 4 + 4 = 1 + 4 + 4 × 4 = 21，
所以| + 2 | = 21；
(2)由已知可得( ) ( + 3 ) = 0，
2
即 2 + (3 1) 3 = 0，
所以有 + 3 1 12 = 0 13，解得 = 4．
16. 2 1 1解：(1)原式= ( 3 )
1 + 9 2 2 + 2 5 + 2
= 32 + 9 +
1
2 ( 5 + 2)
= 3 + 9 + 12 2
= 11；
(2)原式= sin(4 6 ) + cos(
23
7 ) 0 cos(4 + 3 )
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= sin 6 + 0 cos

3
= 1 12 + 0 2
= 0．
17.解：(1)根据题意，函数 ( ) = + 的图象经过点( 1,0)和(0, 1)，
1
则有 + = 0 =
1
0 ，解可得 2 ， + = 1 = 2
则 ( ) = ( 12 )
2，
(2) 1根据题意，由(1)的结论，不等式( ) + ( 2 )
≤ 0，即2 + 4 ≤ 0，
变形可得 ≥ 2 + 4 ，
设 ( ) = 2 + 4 ， ∈ [1, + ∞)，
易得 ( )在[1, + ∞)上为增函数，则有 ( ) ≥ (1) = 6，即 ( )在区间[1, + ∞)上的最小值为 6，
若不等式2 + 4 ≤ 0 在[1, + ∞)上有解，必有 ≥ 6，
故 的取值范围为[6, + ∞)．
18.(1) 3 因为直线 的倾斜角为 4，所以直线 的斜率为 1，
又 的坐标为(4, 1)，所以直线 的方程为 + 1 = ( 4)，即 + 3 = 0．
因为 边上的中线经过点 ，即 为直线 与 边中线的交点，
3 1 = 0
联立 + 3 = 0 ，解得 = 1， = 2，
所以点 的坐标为(1,2)．
(2) + = 1( > 0, > 0) 1 2依题意可设直线 的方程为 ，则 + = 1．
> 0 1 2 1 2因为 ， > 0，所以 + = 1 ≥ 2 ，则 ≥ 8，
当且仅当 2 = = 4 时，等号成立，
所以△ 1 1面积的最小值为 = 2 = 2 × 8 = 4．
19.解：(Ⅰ) > 0 ( ) = + 1由题意可知 ， ′ ．
当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时， ( ) 1 1在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
(Ⅱ) 解法一：由题意可知 > 0，且 ( ) = ( + )( ) 2 = 0 ( + )(1 ) = 1．
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令 = , ∈ ( ∞, 1 ],
则( + )(1 ) = 1．
记 ( ) = 2 + ( 1) + 1 = 0，( )
当 ≤ 1 时， + < 0，1 > 0，与( + )(1 ) = 1 相矛盾，此时( )式无解；
当 = 0 时， ( ) = 2 + 1 = 0 无解；
当 = 1 时，( )式的解为 = 0，此时 ( ) = 0 有唯一解 = 1；
≥ 2 1 当 时， 2
= 1 < 0
1 +
，
2 = 1 < 0
( 1 ) = 1 2 + ( 1)(
1
1) ≤
1 1
2 + 1 < 0，
所以( )式只有一个负根 0， ( ) = 0 有唯一解，故 的最小值为 1．
解法二：由题得 ( ) = ( + )( ) 2 = 0 ( + )(1

) = 1，
= 1令 ，则 = 1 ．
再令 = 1 1，则 + 1 = + ．
= + 1 , = 1 记 ，
= + 1 = 1 函数 和函数 的图象如图所示：
当 + 1 < 2，即 < 1 时，显然不成立；
+ 1 ≥ 2 1当 ，即 ≥ 1 时，由 ∈ ，得方程 + 1 = + 存在唯一解 0，且 0 ≥ 1．

此时 = 1 亦存在唯一解 0．
综上， 的最小值为 1．
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