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2024-2025 学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + + 1 > 0”的否定为( )
A. ∈ ， 2 + + 1 > 0 B. ∈ ， 2 + + 1 < 0
C. ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0 D. ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0
2.已知集合 = { | = 1 }, = { | = ln(2 )}，则( ) ∩ =( )
A. ( ∞,1] B. (1,2) C. [1,2) D. ( ∞,2)
3.设集合 = {1,3, 2}， = {1, + 2}，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4.函数 ( ) = ( 1 2 ) 的零点所在的一个区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,10)
5 1.函数 ( ) = 2 在[ , ]上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.若函数 ( ) = 3 + 2 + 的图象关于点(2,0)对称，则实数 的值为( )
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
7.若函数 ( ) = + 存在两个不同的零点，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. ( ∞, ) D. (0, )
8.已知 ( )为定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞) ( )上的偶函数，且当 > 0 时， ′( ) ( ) > 2， (1) = 1，则 >
的解集为( )
A. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) B. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
C. ( 1,0) ∪ (0,1) D. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列不等关系成立的有( )
A. 30.7 > 0.73 B. 3 < 0.9 C. log34 > log 0.3 0.456 D. 0.4 < 0.3
10.若函数 ( ) = 1 2 22 3 + 2 在 = 1 处取得极大值，则( )
A. = 1 B. = 2
C. (2, + ∞)为 ( )的一个增区间 D. ( )的极小值为 2 2 4
11.定义在 上的奇函数 ( )满足 (2 + ) = ( )，当 ∈ [0,1]时， ( ) = ，则下列结论正确的有( )
A.当 ∈ [2,3]时， ( ) = 3
B. ( )的图象在 = 32处的切线方程为 2 + 2 2 5 = 0
C. ( )的图象与 ( ) = lg| 1|的图象所有交点的横坐标之和为 10
D. ( ) 15 1的图象与直线 = + 恰有一个公共点，则实数 ∈ (4 4 , 4 4 )( ∈ )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )， ( )分别为定义在 上的偶函数、奇函数，且满足 ( ) + ( ) = 2 +1，则 ( 1 + log23)的
值为______．
2 , ≤ 1
13.若实数 0满足 ( ( 0)) = 0，则称 0为函数 ( )的一个“二阶不动点”.给定函数 ( ) = 2 1，2 2 , > 2
则其所有“二阶不动点”的和为______．
14 2.已知正实数 ， 满足 2 2 4 = 2 2 4 ，则
2 + 8 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = log 22(2 1)．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若对任意的 ∈ [ 32 , + ∞)，都有 ( ) ≥ 2
2，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )， (1) = 2，且 < 0 时， ( ) > 0．
(1)判断并证明 ( )的奇偶性；
(2)求关于 的不等式 ( 2 2) ( + 1) > 10 的解集．
17.(本小题 15 分)
如图，某地计划在海中建设一风力发电站 ，其离岸距离 = 40 ，与 垂直的海岸线 上有一升压站 ，
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且 = 20 .现要铺设一条电缆将 站的电力传输到 站，点 为海岸线 上一点，线段 ， 分别表示
在海中、海岸线上铺设电缆的路线.假设海中铺设电缆的费用为 万元/千米( 为给定正数)，海岸线上铺设
9
电缆的费用为41万元/千米， 的长度为 千米．
(1)求铺设电缆总费用 关于 的函数关系式；
(2)当 的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用．
18.(本小题 17 分)
+
已知函数 ( ) = 2 ( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求曲线 ( )切线斜率的最小值；
(2)若 ( ) = 2 ( )有两个不同的极值点 1， 2．
( )求 的取值范围；
( )求证： > 2 1 2 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)设 ( ) = 2 2，且 ( )与 ( )有相同的最小值．
( )求 的值；
( )已知 ， 1 2 ∈ (0, + ∞)，且 ( 1) = ( 2)，求证：2 1 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.136
13.2815
14.12
15.(1)令 2 2 1 > 0 < 1，解得 2或 > 1，
即函数的定义域为( ∞, 12 ) ∪ (1, + ∞)，
令 = 2 , = 2 2 1，
= log2 在其定义域内为增函数，
( ) 1的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线 = 4，
所以当 ∈ ( ∞, 12 )时， ( )单调递减，当 ∈ (1, + ∞)时， ( )单调递增，
1
由复合函数单调性性质，当 ∈ ( ∞, 2 )时， ( )单调递减，当 ∈ (1, + ∞)时， ( )单调递增，
所以 ( ) 1单调递减区间为( ∞, 2 )，单调递增区间为(1, + ∞)；
(2)由题意 ( ) ≥ 2 2 ，
3
由(1)知，当 ∈ [ 2 , + ∞)时， ( )单调递增，
所以 ( ) = (
3
2 ) = 22 = 1，
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于是2 2 ≤ 1 = 20，
即 2 ≤ 0，解得 ≤ 2，
故 的取值范围为( ∞,2]．
16.(1)令 = = 0，可得 (0) = (0) + (0)，所以 (0) = 0，
令 = ，可得 (0) = ( ) + ( )，所以 ( ) = ( )，
又 ( )的定义域为 ，关于原点对称，故 ( )为奇函数，
(2)任取 1， 2 ∈ [0, + ∞)，且 1 < 2，则 = 2 1 > 0，
于是 ( 1) ( 2) = ( 1) ( 1 + ) = ( 1) [ ( 1) + ( )] = ( )，
因为 > 0，所以 < 0，由题意 ( ) > 0，
又 ( )为奇函数，所以 ( ) = ( ) > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)， ( )在[0, + ∞)上单调递减，
因为 ( )为奇函数，所以 ( )在( ∞,0]单调递减，
所以 ( )在 上单调递减，
由 ( + ) = ( ) + ( )，可知 (5) = 5 (1) = 10，
所以不等式 ( 2 2) ( + 1) > 10，
等价于 ( 2 2) + ( 1) = ( 2 2 3) > (5)，
所以 2 2 3 < 5，解得 2 < < 4，
所以，原不等式的解集为{ | 2 < < 4}．
17.(1)由题意知， = 1600 + 2， = 20 ，
所以 = 1600 + 2 + 9 41 (20 ) = ( 1600 +
2 9 18041 + 41 )，其中 0 ≤ ≤ 20．
(2) = ( 9求导数，得 ′
1600+ 2 41
)，
令 ′ = ( 9 ) > 0，解得 9 ≤ ≤ 20，
1600+ 2 41
= ( 令 ′ 941 ) ≤ 0，得 0 ≤ ≤ 9，1600+ 2
所以 ( )在[0,9]上单调递减，在[9,20]上单调递增，
= 9 1780 当 时， 取得最小值．此时 (9) = 41 ．
所以当 的长度为 9 1780 公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为 41 万元．
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18.(1)当 = 1 +1 1 时， ( ) = 2 ( > 0), ′( ) = 2 ．
1
2 2 2 1
令 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 4 = 3 ，
令 ′( ) = 0，解得 = ．
当 0 < < 时， ′( ) < 0， ( )单减；当 > 时， ′( ) > 0， ( )单增．
所以，当 = 时， ( ) 1取得极小值也是最小值 ( ) = 2 ，
1
所以，曲线 ( )切线斜率的最小值为 2 ．
(2)( ) ( ) = + 12
2( > 0)，则 ′( ) = + + 1，
若 ( )有两个不同的极值点，则 ′( )在(0, + ∞)上存在两个变号零点，
令 ( ) = 1″( ) = ( > 0)．
当 ≤ 0 时， ( ) > 0， ′( )单增，此时 ′( )至多存在一个零点，舍去，
> 0 1 1 1当 时， ( ) = = ( ).当 0 < < 时， ( ) > 0， ′( )
1
单增，当 > ，
时， ( ) < 0， ′( ) 1 1单减．所以，当 = 时， ′( )取极大值 ′( ) = ，
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1 1 = 1 ，所以 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单减，
当 > 1 时， ( )单增，所以 ( )存在极小值也是最小值 (1) = 1．
> 0 ( ) ( 1所以，对 ，恒有 ′ 的极大值 ′ ) = > 1 > 0，
当 → 0 时， ′( ) = + + 1 → ∞ ( ) 1， ′ 的图象在(0, )连续不断，由零点存在定理，存在 1 ∈
(0, 1 )，使得 ′( 1) = 0．
当 →+∞时， ′( ) → ∞ 1，同理，存在 2 ∈ ( , + ∞)，使得 ′( 2) = 0．
所以，对 > 0， ′( )在(0, + ∞)上存在两个不同的变号零点．
综上， 的取值范围为(0, + ∞)．
( )证明：不妨设 1， 2是 ′( ) = + + 1 的两个零点，且 1 < 2，
则 1 1 + + 1 = 0， 2 2 + + 1 = 0，
= 2 两式相减得： 1 ，2 1
两式相加得： 1 + 2 + 2 = ( 1 + 2) 2，
于是要证 > 2 1 2 ，只需证 1 + 2 > 2 ，只需证 ( 1 + 2) > 2，
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2
2 1 ( + ) > 2 ln 2 > 2 2
2( 1)
即证 1 1 1 2 ，即证 + = 2 ( )，2 1 1 1 2 +11
= 2 > 1 ( ) = 2( 1) ( ) = 1 4
2
事实上，令 ， +1 ， ′ ( +1)2 =
( 1)
1 ( +1)2
> 0，
所以 ( ) > (1) = 0，所以不等式( )成立，所以原不等式成立．
19.(1)依题意 ′( ) = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0， ( )在 上单调递增；
当 > 0 时，令 ′( ) = 0 得， = ，即 = ；
当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上，当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递增，当 > 0 时， ∈ ( ∞, )时， ( )单调递减， ∈ ( , + ∞)时，
( )单调递增；
(2)( )由(1)知，当 > 0 时， = 时 ( )取得最小值 + 1．
( ) = 2 = 2′ ，当 ∈ (0,
2
)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
= 2所以，当 时 ( )取得极小值即最小值 2 + 2 ，
由题意可知， + 1 = 2 + 2 ，即( + 2) + 1 = 0，
令 ( ) = ( + 2) + 1，则 ′( ) = + 2 , ″( ) =
2
2 ，
所以当 ∈ (0,2)时， ′′( ) < 0， ′( )单调递减，
当 ∈ (2, + ∞)时， ′′( ) > 0， ′( )单调递增，
所以 ′( )取得最小值 ′(2) = 2 + 1 > 0，
所以 ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单增，
又 (1) = 0，所以 = 1；
( )证明：因为 ( 1) = ( )，所以 1 + 1 = 2
2
2 1 2 2，
即 1 1 = (1
2
2 + ln
2 2 2
2 ) + ln 2 2．
令 ( ) = 1 + ( > 0)，则 ′( ) = 1 + 1 =
1
，
可知 ( )在 = 1 时取得最大值 0，所以 ( ) ≤ 0，即 1 22 + ln
2
2 ≤ 0，

所以 1 ≤ ln 2 2 = ln 2 ln
2
1 22 2 2 ，当且仅当 2 = 2 时，“=”成立．
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令 ( ) = ，则 ′( ) = 1 ，当 > 0 时， ′( ) < 0， ( )单调递减．

所以，当 2 > 2 时， 1, ln 22 ∈ (0, + ∞)，由 ( 1) < (ln
2
2 )

，得 1 > ln 22．
当 2 ∈ (0,2]时，显然 ln
2
2 ≤ 0 < 1，
综上， 1 > ln
2 1
2，即 2 > 2．
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