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2024-2025 学年甘肃省白银市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 1.已知向量 = ( 2 , 2 )，
= ( , 1)， ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 3 32 D. 2
2.(文)若 = 2，则 tan( 4 + )的值为( )
A. 3 B. 3 C. 13 D.
1
3
3.已知 为虚数单位，若(2 + ) = 1 + ，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3 3， = 3， = 3，则 =( )
A. B. C. D. 5 4 6 12 6
5.已知正三棱柱的底面边长为 3，侧棱长为 2，且该三棱柱的 6 个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
( )
A. 8 16 32 643 B. 3 C. 3 D. 3
6.把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为 ， ，则使得关于 的方程 2 + + = 0 没有实数根的概
率为( )
A. 1 B. 5 7 1718 12 C. 12 D. 36
7.美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国
家 5 级旅游景区.千岛湖有三座岛屿 ， ， ，旅游公司准备在岛屿 上开发一
个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿
的底部测得岛屿 的顶部 处的仰角为 60°，并测得岛屿 在岛屿 的北偏西 75°
方向上，另外测得岛屿 在岛屿 的北偏东 60°方向上，岛屿 在 的正东方向 600 处，且三座岛屿 ， ，
在同一水平面上，则岛屿 的高度为( )
A. 300 2 B. 300 6 C. 600 3 D. 100 6
8.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，
又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉
亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为 1 1 1，其底面边长是 3，侧
棱长是 12 5， 为 1 1的中点， 是侧面 1 1上一点，且 //平面 1，则点 的轨迹长为( )
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A. 27
B. 272
C. 12
D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. (1 + )(1 ) B. (1 + ) C. (1 + )2 D. 2( )
10 .关于函数 ( ) = ( 4 3 ) sin
2 ，下列说法正确的是( )
A.若 ( 6 ) =
2
3， ∈ (0,
3
2 )，则 = 3
B.若向量 = ( 1, 3)与 = (2,0)的夹角为 ，则 ( ) = 1
C. 函数 ( )在区间[ 6 , 3 ]上单调递增
D. ( + 函数 12 )为奇函数
11.已知一个古典概型的样本空间 和其随机事件 和随机事件 ，其中 ( ) = 20， ( ) = 12， ( ) = 8，
( ∪ ) = 18，则( )

A. ( ∩ ) = 2 B. ( ∩ ) = 10

C.事件 与事件 是互斥事件 D.事件 与事件 是独立事件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若在复平面上的矩形 中， 对应的复数为 2 3 ， 对应的复数为 4 + ，则 对应的复数是
______．
13.在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 4， ， 分别是 ， 1的中点，则异面直线 1
与 所成角的余弦值是______．
14.如图所示，在梯形 中， // ， = 4， = 5，∠ = 30°，
∠ = 45°，则 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知复数 = (1 )2+ ．
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(1)求复数 ；
(2)若 + = 1 + 4 ，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 ， ， 在同一平面内，且 = (2, 1)， = (3,1)．
(1)若| | = 2 10，且 与 共线，求向量 的坐标；
(2)若向量 + 3 与向量 3 共线，求 的值，此时 + 3 与 3 同向还是反向？
17.(本小题 15 分)
读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.某中学为了解本校学生课外阅读的情况，按性别进行分层，用分
层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为 100 的样本，其中男生 30 名，女生 70 名.经调查统计，分
别得到 30 名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和 70 名女生一周课外阅读时间(单位：小
时)的频率分布直方图．
小时 频数
[0,2) 6
[2,4) 15
[4,6) 6
[6,8) 3

(1)由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数 ；(注：以各组的区间中点值代表该组的各个值)
(2)从一周课外阅读时间为[2,4)的样本学生中按比例抽取 10 人，再从这 10 人中任意抽取 2 人，求恰好抽
到一男一女的概率．
18.(本小题 17 分)

如图，已知在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为对角线 ， 1上的点， =1
= (0 < < 1)．
(1)求证： //平面 1 1．
(2) 若 是 上的点，当 的值为多少时(用 表示)，能使平面 //平面 1 1 ？请给出证明．
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19.(本小题 17 分)
2
如图，已知扇形 的半径为 2，面积为 3， 是扇形弧上的动点，四边形 是扇形的内接矩形(点 、
在半径 上，点 在半径 上)．
(1)求弧 的长．
(2)记∠ = ，当 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 +
13. 4214
14.5 2
15.(1) = (1 )
2 2 (2 ) 4 2 2 4
2+ = (2+ )(2 ) = 5 = 5 5 ．
2 + = 1
(2) + = 25 +
4
5 = 1 + 4
= 5
，则 54 ，解得 = 4 = 1
．
5
16.(1)根据 与 共线，设 = = (3 , )，
由| | = 2 10，可得 9 2 + 2 = 2 10，解得 =± 2．
当 = 2 时， = (6,2)，当 = 2 时， = ( 6, 2)，
所以 = ( 6, 2)或 = (6,2)；
(2)由题意得 + 3 = (2, 1) + 3(3,1) = (11,2)，
3 = (2, 1) 3(3,1) = (2 9, 3)，
因为向量 + 3 与向量 3 共线，
所以 11( 3) = 2(2 9)，解得 = 1，
此时 3 = ( 11, 2) = (11,2) = ( + 3 )，可知 + 3 与 3 反向．
17.(1)由频数分布表估计男生一周课外阅读时间的平均数为：

= 1×6+3×15+5×6+7×330 = 3.4，
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由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数为：

= 0.05 × 2 × 1 + 0.25 × 2 × 3 + 0.10 × 2 × 5 + 0.10 × 2 × 7 = 4．
= 3.4×30+4×70所以估计总样本的平均数 100 = 3.82．
(2)由频数分布表，频率分布直方图知，
一周课外阅读时间为[2,4)的学生中男生有 15 人，女生有 0.25 × 2 × 70 = 35 人，
15
若按比例抽取 10 人，则男生有 10 × 15+35 = 3 人，记为 ， = 1，2，3，
35
女生有 10 × 15+35 = 7 人，记为 ， = 1，2，3，4，5，6，7，
从这 10 人中抽取 2 人，样本空间 = { 1 2, 1 3, 2 3, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7,
2 3， 2 4， 2 5， 2 6， 2 7， 3 4， 3 5， 3 6， 3 7， 4 5， 4 6， 4 7， 5 6， 5 7， 6 7，
1 1， 1 2， 1 3， 1 4， 1 5， 1 6， 1 7， 2 1， 2 2， 2 3， 2 4， 2 5， 2 6， 2 7，
3 1， 3 2， 3 3， 3 4， 3 5， 3 6， 3 7}，共有 45 个样本点．
记事件 为“恰好一男一女”，则事件 = { 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7,
2 1， 2 2， 2 3， 2 4， 2 5， 2 6， 2 7，
3 1， 3 2， 3 3， 3 4， 3 5， 3 6， 3 7}，共 21 个样本点，
故所求概率 ( ) = 21 745 = 15．
18.(1)证明：如图，在正方体 1 1 1 1中，连接 并延长，与 的延长线交于 点，
则平面 和平面 1 1 的交线为 1 .
因为四边形 为正方形，所以 // ，
故△ ∽△ ，
= 所以 = (0 < < 1)．
= 又因为 = (0 < < 1)，1
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所以 = = ，所以 // 1 1．
因为 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ．
又平面 1 1//平面 1 1 ，
故 //平面 1 1．
(2) 1当 的值为1+ (0 < < 1)时，能使平面 //平面 1 1 ．
1
证明：如图，因为 = 1+ ，

即 = (0 < < 1)，

又 = ，所以 // ．
因为 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ，
又 ∩ = ， //平面 1 1 ， ， 平面 ，
所以平面 //平面 1 1 ．
19.(1) 1 2 由题意得扇形 的面积为2 × ∠ × 2
2 = 3，
∠ = 解得 ，所以弧 3

的长等于3 × 2 =
2
3；
(2)在 △ 中， = ∠ = 2 ， = ∠ = 2 ，
在 △ 中，tan∠ = = 3，
所以 = 33 =
3 2 3
3 = 3 ， = = 2
2 3
3 ．
矩形 的面积 = = (2 2 33 ) × 2
4 3 2 3 2 3 2 3
= 4 sin23 = 2 2 3 × (1 2 ) = 2 2 + 3 2 3
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= 43 × (
3
2 2 +
1 2 3 4 3
2 2 ) 3 = 3 sin(2 +
2 3
6 ) 3 ．
5 4 3 2 3 2 3
由 0 < < 3，得6 < 2 + 6 < 6，所以当 2 + 6 = 2，即 = 6时， = 3 3 = 3 ．
2 3
综上所述，当 = 6时，矩形 的面积最大，最大面积为 3 ．
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